Cтраница 1
Ось перспективности х не зависит от выбора пары соответственных точек в качестве центров проектирующих пучков. [1]
Найдем ось перспективности этих пучков. Если прямая с совпадает с прямой а, то она дает пару соответственных точек At и А2 образующих рядов. [2]
Благодаря применению оси перспективности построение соответственных точек проективного соответствия на кривой k, заданного тремя парами ( А, А; В, В и С, С), легко выполняется. [3]
Обозначим буквой s ось перспективности пучков S и S2 ( черт. [4]
Точки пересечения Р2 и Q2 оси перспективности х с кривой k и являются двойными точками рядов второго порядка. [5]
В самом деле, если Y - точка пересечения оси перспективности х с кривой k, то лучи A Y и AY являются соответственными. Но это значит, что точка Y сама себе соответствует. [6]
Первый, уже рассмотренный на чертеже 163, представляет тот случай, когда ось перспективности х пересекает кривую второго порядка в двух точках. [7]
Очевидно, двойные точки рядов, расположенных на прямой g, проектируются из S двойными точками рядов на кривой k и обратно. Это можно сделать, как мы уже знаем, при помощи оси перспективности. [8]
Все построение носит характер двойственный по отношению к выполненному на чертеже 172, причем вместо оси перспективности х используется центр перспективности X. Мы предоставляем читателям сделать этот чертеж в порядке самостоятельной работы. [9]
Благодаря применению оси перспективности построение соответственных точек проективного соответствия на кривой k, заданного тремя парами ( А, А; В, В и С, С), легко выполняется. A D ( пучка А), отмечаем точку пересечения D0 последнего с осью перспективности и проводим луч AD0 пучка А. [10]
Так как возможно лишь одно проективное соответствие, в котором три пары точек А, А; В, В пХ Х являются соответственными, то отсюда заключаем, что данные проективные ряды являются перспективными с центром перспективности в точке S. Таким образом, доказывается и достаточность формулированного выше условия. Совершенно аналогичным образом можно провести доказательство условия перспективности двух проективных пучков S и 5 ( черт. При этом общая прямая х этих пучков сама себе соответствует, а ось перспективности определяется при помощи двух пар соответственных прямых ( а, а и b, b) данных пучков. [11]
Пусть имеем треугольник ABC, описанный около кривой второго порядка k ( черт. Предположим, что точка М сопряжена вершине С треугольника. Это значит, что М лежит на поляре PQ точки С. Рассмотрим два пучка прямых с центрами в точках А и В. Установим соответствие прямых этих пучков следующим образом: каждой прямой одного пучка соответствует сопряженная прямая второго пучка. Такое соответствие пучков Л и В является проективным, так как один пучок ( например, пучок А) про-ективен ряду полюсов своих прямых, в то время как прямые второго пучка ( например, пучка В) проходят через соответствующие полюсы и, следовательно, второй пучок перспективен тому же ряду полюсов. Отсюда заключаем, что пучки А и В проективны. Построим ось перспективности пучков А и В. Для этого достаточно найти две пары соответственных лучей этих пучков. Прямой АС первого пучка соответствует прямая ВР второго пучка, проходящая через точку Р прикосновения стороны АС. Аналогично найдем, что два других соответственных луча ВС и A Q пересекаются в точке Q прикосновения стороны ВС. [12]