Cтраница 2
Уточнение основных понятий анализа и сведение более сложных понятии к простейшим на точной и логически все более строгой основе, а также открытие неевклидовых геометрий стимулировали развитие А. [16]
Математика является не только мощным средством решения прикладных задач, но и универсальным языком науки, а также неотъемлемой частью мировоззрения. Книга Начала Евклида, заложившая фундамент классической геометрии, сильно влияла на представления об устройстве нашего мира. А открытие неевклидовой геометрии и теории относительности сразу перевернуло наши представления о нем. Не случайно Эйнштейн подчеркивал важность математики в постижении природы. [17]
Первое, что бросается в глаза - разделение труда ( и ответственности) между естествоиспытателем ( физиком, биологом, статистиком и пр. Математик выбирает важный объект исследования, описывая его с помощью системы аксиом, а естествоиспытатель, имея дело с реальной системой, решает, достаточно ли хорошо она описывается этими аксиомами и можно ли пользоваться вытекающими из них следствиями. Поэтому, например, вопрос о справедливости геометрии Евклида, возникший после открытия неевклидовых геометрий, должен решаться и действительно был решен физиками. Этот вопрос находится вне юрисдикции математики. [18]
Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютизировать представления о пространстве, что употребительная ( как называл Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является - единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. Итак, в основе геометрии лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия - вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира. [19]
Одно соображение я уже подчеркивал, и относительно этого теперь все согласны, а именно, то, что здесь речь идет о первоначальных основных понятиях и предложениях, которые следует непременно предпослать геометрии, чтобы вообще иметь возможность проводить на их основе чисто логическим путем математические доказательства. Но такая установка не дает еще ответа на вопрос о том, откуда же собственно происходят эти первоначальные понятия и предложения. Прежняя точка зрения заключалась в том, что они непосредственно даны в интуиции каждого человека и обладают столь очевидной простотой, что никто не может в них сомневаться. Однако такой взгляд был в сильной степени поколеблен открытием неевклидовой геометрии, ибо этим было как раз показано, что пространственная интуиция и логика никоим образом не приводят к евклидовой аксиоме параллельности как к чему-то обязательному, но что, принимая противоречащее ей допущение, приходим тоже к геометрической системе, логически замкнутой в себе и достаточно точно изображающей реальные ( фактические) отношения. Но, несомненно, все же остается возможность рассматривать эту аксиому параллельности как такое допущение, которое позволяет самым простым способом изображать реальные пространственные отношения. Это приводит к такому общему положению: основные понятия и аксиомы являются не просто фактами интуиции, но целесообразно подобранными идеали-зациями этих фактов. Уже резко очерченное понятие точки не существует в непосредственном чувственном созерцании ( интуиции), но является лишь воображаемым пределом, к которому мы можем приближаться с нашими представлениями о маленькой части пространства, никогда, однако, его не достигая. [20]
Так, в начале 1926 г. он предлагает тему для премии - Теория винта, публикует ряд статей, касающихся резонанса, теории относительности, теории упругости, теоретической астрономии. Но в то же время намечается переключение era внимания на чисто теоретические вопросы. Так, на заседании физико-математического отдела УАН 25 февраля 1926 г. Д. А. Граве делает доклад Геометрия плоскости как предельная для геометрии псевдосферы, посвященный 100-летию открытия неевклидовой геометрии Лобачевским. [21]
Признание той или иной категории в качестве априорной означает: так есть, так надо принять. Это обрекает знание на окостенение, а естествознание на бездеятельность. Макс Борн, безусловно, прав, ведя борьбу против априоризма. Он прав, указывая, что развитие естествознания показало несостоятельность априоризма. И прежде всего априорную философию опровергло открытие неевклидовой геометрии Лобачевским, а также Больаи, Гауссом. [22]
Признание той или иной категории в качестве априорной означает: так есть, так надо принять. Это обрекает знание на окостенение, а естествознание на бездеятельность. Макс Борн, безусловно, прав, ведя борьбу против априоризма. Он прав, указывая, что развитие естествознания показало несостоятельность априоризма. И прежде всего априорную философию опровергло открытие неевклидовой геометрии Лобачевским, а также Больаи, Гауссом. Значение открытия неевклидовой геометрии для теории познания состоит именно в том, что оно нанесло сокрушающий удар по априоризму как философской системе. [23]
Евклидом удовлетворительными) некоторых первичных терминов, таких, как точка, прямая и плоскость. Очевидно, утверждения о наличии этих свойств воспринимались как истинные на основании смысла предложенных определений рассматриваемых терминов. Поскольку предполагалось, что геометрия Евклида есть описание реального физического пространства, в котором мы живем, вполне естественно, что Евклид полагал значение таких терминов, как точка и прямая, достаточно ясным, а относящиеся к ним аксиомы считал самоочевидными истинами. Такое отношение к аксиомам и в наше время достаточно распространено. Эта эволюция точки зрения на аксиомы была постепенной; связана она прежде всего с осознанием открытия, сделанного Я. Бойаи и ( независимо от него) Н. И. Лобачевским - открытия неевклидовой геометрии. [24]
Становление классической механики - одна изсоставных частей того, что принято называть научной революцией XVII в. Конечно, было бы бесплодным упрощенчеством истолковывать научные исследования той эпохи как выполнение определенного и осознанного социального заказа: преломление общественных процессов в индивидуальном творчестве происходит, как правило, весьма сложным образом. К тому же наука развивается по законам наследственного процесса: ее дальнейший ход определяется не только ее состоянием и общественными условиями в данный момент, но и предшествующей историей. Если бы удалось сформулировать закономерности развития науки на языке математики, то они были бы записаны не в виде дифференциальных, а в виде интегро-дифференциальных или интегральных уравнений, как в случае, скажем, магнитного гистерезиса. Уже поэтому направленное против марксистов заявление Александра Койре, что Россия Николая I не может объяснить Лобачевского, как Флоренция XVI-XVII вв. Галилея, явно бьет мимо цели. Но достаточно очевидно, что вне России первой половины XIX в. Лобачевского, хотя открытие неевклидовой геометрии могло быть сделано и действительно было сделано независимо и вне России. И столь же очевидно, что вне Флоренции и Италии XVI-XVII вв. Об этом следует еще раз напомнить здесь, где изложение по необходимости ограничивается почти исключительно фактами истории механики и их анализом. [25]
На присланную Яношем замечательную работу, в которой содержится идея о парах чисел, позволяющая обосновать теорию комплексных чисел, что по существу предвосхитило учение У. И эта неудача тяжело отразилась на психике Яноша Бояй. Продолжая интенсивно заниматься наукой, он поставил, однако, перед собой невыполнимую в то время задачу общего обоснования и строго логического построения геометрии. Безрезультатные поиски ухудшили моральное, физическое и душевное его состояние. Его переживания и отчаяние резко возросли, когда в его руки попало сочинение Н. И. Лобачевского на немецком языке Геометрические исследования по теории параллельных линий. Янош высказал предположение, что Лобачевский - это всего лишь псевдоним, под которым скрывается Гаусс, похитивший у него приоритет открытия неевклидовой геометрии. [26]