Cтраница 1
Отношение Релея играет большую роль при вычислении собственных значений и собственных векторов и более подробно обсуждается в гл. [1]
Если отношение Релея d [ k ] значительно колеблется от итерации к итерации ( что соответствует резкому уменьшению k - ro итерируемого вектора), то в этом случае рано или поздно одно из двух указанных выше условий начинает выполняться ( см. текст программы, следующий за комментарием Проверка точности вычисления собственных значений. [2]
При сдвигах по отношению Релея QL-алгоритм сходится почти всегда, и если он действительно сходится, то асимптотическая скорость сходимости кубическая. [3]
В процессе работы итерационного алгоритма отношения Релея сходятся к соответствующим собственным значениям исходной матрицы. Как только относительное увеличение отношения d [ h 1 ] будет меньше eps / lu, собственное значение можно считать вычисленным, и величина h увеличивается на единицу. [4]
Тесная связь между итерацией с использованием отношения Релея ( RQI) - и QR-алгоритмом была замечена Каханом и Уилкинсоном. В действительности монотонное убывание последнего внедиагонального элемента в трехдиагональ-ном QR-алгоритме привело Кахана к анализу глобальной сходимости RQI, изложенному в гл. [5]
При уточнении собственных значений с помощью отношений Релея [ уравнения ( 10), ( 11) ] существенно, чтобы вектор Ах - Хх был вычислен с высокой точностью. [6]
В отличие от стратегии сдвигов по отношениям Релея, где ak a ( i здесь внедиагональный элемент ffl не обязан убывать на каждом шаге. Монотонность принесена в жертву гарантированной. [7]
Наиболее важным вариантом обратной итерации является итерация с отношением Релея. Мы увидим, что этот метод сходится для почти всех начальных приближений, как бы они ни были плохи, и что впоследствии, обычно после двух или трех шагов, число верных знаков утраивается на каждой итерации. [8]
Следующие два этапа процедуры Релея - Ритца заключаются в вычислении матрицы отношения Релея p ( Qy. [9]
В высшей степени замечательно, что скромный переход от сдвига по отношению Релея ( о аи) к сдвигу по Уилкинсону ( а ш) преобразует сходимость почти всегда в сходимость всегда. Однако при сдвиге по отношению Релея не обязательно ограничиваться лишь трехдиагональными матрицами; теория гл. Можно спросить, существует ли стратегия сдвигов, гарантирующая сходимость обратной итерации с любого начального вектора. Ответ утвердительный, поскольку предположение о трехдиагональности не есть реальное ограничение, а скорее удобное нормирование. Единственная задача состоит в том, чтобы выразить сдвиг по Уилкинсону в геометрической форме, и сейчас это будет сделано. [10]
Островский [ Ostrowski, 1958 - 1959 ] посвятил итерации с отношением Релея для симметричных матриц две сложные статьи и дал строгое доказательство асимптотически кубической сходимости. [11]
При каждом значении вектора С Ск осуществляется в свою очередь минимизация и максимизация отношения Релея для отыскания А. [12]
Однако, существуют все же недиагональные матрицы, инвариантные относительно QL со сдвигом по отношению Релея. [13]
При условии, что жидкости обладают симметричным рассеянием и не происходит деполяризации, можно, пользуясь уравнением ( 51), представить результаты измерений в виде отношений Релея или величин мутности. Доти [49] первый применил этот метод в опытах с раствором полистирола низкого молекулярного веса. В настоящее время для калибровки часто употребляют коллоидный раствор, в котором частички двуокиси кремния ( марки людокс) имеют сферическую форму. [14]
В контексте обратной итерации единственный вектор, которым мы располагаем на fe - м шаге, - - это текущее приближение uk к собственному вектору; естественно поэтому брать в качестве сдвига отношение Релея. Однако в случае QL-алгоритма имеется матрица Ал, и потому можно вычислить более точное приближение к A.J. Более того, если А1 трехдиагональная, то это уточненное значение можно получить очень малой ценой. Прежде чем подробно обсудить такие сдвиги, посмотрим на результат одного QL-преобразования с произвольным сдвигом а для трехдиагональной матрицы А. [15]