Cтраница 1
Отображение периодов я: М - Р, соответствующее семейству f, этально. [1]
P отображение периодов взаимно однозначно: это куммерова поверхность, соответствующая суперсингулярному абелеву многообразию. [2]
Остается проверить, что отображение периодов этально на каждом Ма. V, то действие группы G на Va определяет вложение sl ( n 1) - 6 ( V2) и ву ( Ма) ex ( V) / sl ( n 1), где у Е Ма - точка, соответствующая х 6 Уа при факторизации по G. Из этого следует, что для отображения 6а Кодаиры-Спенсера, соответствующего семейству Уа / Ма, Кег 6а - О, dimlm. Ввиду предложения 4 в § 10, отсюда следует этальность отображения периодов. [3]
Для суперингулярных поверхностей построен аналог отображения периодов, и для него тоже доказана теорема типа Торелли. Многообразие периодов здесь ыеириводимо, полно, имеет размерность 9 и унирационально. [4]
Отсюда же следует и то, что отображение периодов в этом случае является эпиморфным. [5]
Как известно, из теоремы 3 вытекает, что для отображения периодов суперсингулярных поверхностей типа КЗ, введенного Ога-сом [11], имеет место аналог теоремы Торелли и что каждая точка пространства периодов соответствует некоторой поверхности. [6]
Оказывается, можно дать признак того, что поверхность X типа КЗ является специальной куммеровой, сформулированный в терминах эвклидовой решетки Нх и отображения периодов. [7]
Оказывается, можно дать признак того, что поверхность типа КЗ является специальной куммеровой поверхностью в терминах решетки Нъ ( Х, 3) и отображения периодов. [8]
Ни один из этих примеров не проанализирован с той же степенью полноты, что и поверхности из теоремы 3.3. Для некоторых из них еще требуется найти полное доказательство существования, не основанное на компьютерных вычислениях; для других имеется доказательство существования, основанное на вычислении степени отображения периода численными методами с оценкой погрешности. Все эти поверхности являются элементами семейства деформаций поверхностей, первый член которого имеет два плоских конца, а все остальные члены обладают только кате-ноидальными концами. [9]
Те работы, обзор которых предлагается, показывают, что есть надежда найти аналог этой теории хотя бы для некоторых поверхностей типа КЗ над полями конечной характеристики. В настоящее время о такой надежде можно говорить для так называемых суперсингулярных, поверхностей, т.е. таких, для которых все циклы в группе двумерных ( этальных) гомологии являются алгебраическими - существование таких поверхностей является феноменом, специфическим для геометрии над полями конечной характеристики. Для них можно определить пространство периодов П и отображение периодов из многообразия модулей в П и есть основания надеяться, что верен аналог теоремы Торелли. Построение периодов для суперсингулярных поверхностей типа КЗ было первоначально предложено Артиным [10], использовавшим плоские гомологии, однако позже Огас [33] показал, что теория естественнее строится в рамках кристаллических гомологии - этим подходом мы и воспользуемся. Приложения того же метода к теории поверхностей типа КЗ над полем комплексных чисел содержатся в предшествующей статье В.В. Никулина в этом сборнике. [10]
Тогда высота группы Вг может только подскакивать при специализации. В частности, в случаях а) и б) семейство не вырождается. Поэтому суперсингулярные поверхности не вырождаются, т.е. их многообразие модулей полно. Отсюда, как известно, следует, что отображение периодов, введенное Огасом [11] для таких поверхностей, эпиморфно и для него имеет место аналог теоремы Торелли. [11]
Остается проверить, что отображение периодов этально на каждом Ма. V, то действие группы G на Va определяет вложение sl ( n 1) - 6 ( V2) и ву ( Ма) ex ( V) / sl ( n 1), где у Е Ма - точка, соответствующая х 6 Уа при факторизации по G. Из этого следует, что для отображения 6а Кодаиры-Спенсера, соответствующего семейству Уа / Ма, Кег 6а - О, dimlm. Ввиду предложения 4 в § 10, отсюда следует этальность отображения периодов. [12]
Основным объектом здесь является классифицирующее пространство D поляризованных Ходжа структур веса k для заданных чисел Ходжа. С периоды определяют отображение S в соответствующее классифицирующее пространство D структур Ходжа. Проблема модулей сводится к изучению условий биективности отображений периодов. На этом пути существование грубых пространств модулей доказано для кривых, абелевых многообразий и ЯЗ-поверхностей. [13]
Пусть X и Y - две сингулярные поверхности типа / СЗ, причем Тх - Ту с В и X является специальной куммеровой поверхностью. Докажем, что X и Y изоморфны. Согласно теореме 1 приложения существует изоморфизм ( f: HX - Яу, индуцирующий заданный нам изоморфизм Тх - Ту. У) D, что ( р j ( p будет переводить эффективные циклы в эффективные. Так как 7 переводит Sy в себя и тождественно на Ту, то ( р переводит отображение периодов тгх в тгу. Остается применить теорему Торелли для специальных куммеро-вых поверхностей. [14]