Cтраница 1
Отображение полуплоскости на многоугольники реализуется функцией Кристоффеля - Шварца. [1]
При отображении полуплоскости Im го 0 в окрестности точки го оо ширина полосы для обоих отображающих интегралов равна тс. [2]
Чтобы получить отображение полуплоскости на круг радиуса R, следует взять А R. Геометрический смысл этой неопределенности вполне ясен. При таком повороте круг переходит сам в себя, центр его остается на месте, и условия задачи не нарушаются. [3]
Эта задача отображения полуплоскости на круг может быть приведена к канонической. [4]
Прежде чем приступить к выводу формулы для отображения полуплоскости на многоугольники), выясним вопрос о поведении конформного отображения в угловых точках областей. Пусть функция w j ( z) реализует конформное отображение верхней полуплоскости па область А, причем угловой точке wa соответствует точка za действительной оси. [5]
В более подробных курсах рассматривается общая формула Шварца - Крттоффеля, позволяющая строить отображение полуплоскости на любой заданный многоугольник. [6]
При этом, если - / V число нечетное, то налагающийся многоугольник и первоначальный многоугольник представляют собой отображения различных полуплоскостей, то-есть один многоугольник заштрихованный, другой - незаштрихованный. [7]
Вторая задача для нек-рых областей специального вида решается применением элементарных функций комплексного переменного ( см. ниже); принципа симметрии; формулы Кристоффеля - Шварца для отображения полуплоскости или круга на многоугольник; приближенных методов К. Если функция u / ( z) конформно отображает односвязную область D на единичный круг U w: ш 1 и при этом переводит точку ZQ. D в точку юв0, то функция g ( z, z) - log / ( z) 3 - Re Log / ( ж) является функцией Грина для задачи Дирихле в области D. Дирихле позволяет использовать многочисленные методы решения задачи Дирихле ( с целью нахождения функции Грина), в том числе приближенные и численные методы ( напр. [8]
Опираясь на теорему Римана и теорему о соответствии границ, можно доказать, что константы в интеграле ( 8) всегда можно подобрать так, что он будет давать отображение полуплоскости на любой наперед заданный многоугольник. [9]
В первом шаге Козлов отображает при помощи точного решения Павловского двухшпунтовый симметричный флютбет на полуплоскость, что требует применения эллиптических интегралов первого и второго рода. Заменив затем криволинейный разрез, в который перешел внутренний шпунт, дугой окружности, он вторичным отображением полуплоскости с разрезом в виде дуги окружности на неразрезанную полуплоскость завершает решение задачи. [10]
Из предшествующего построения ясно, что многоугольники /, II, III ( фиг. При этом точки этих многоугольников, совпадающие при наложении, или соответствуют одной и той же точке ни, если оба многоугольника представляют собой отображение одной п той же полуплоскости, или соответствуют комплексным сопряженным значениям, если соответствующие многоугольники представляют собой отображения различных полуплоскостей. [11]