Cтраница 1
Отображение верхней полуплоскости на внешность многоугольника ( рис. 61) осуществляется функцией [ 134, стр. [1]
Рассмотрим сначала отображение верхней полуплоскости t, на заданную область. Lk, и а0 - точка верхней полуплоскости, соответствующая ю оо. [2]
Поэтому, чтобы получить отображение верхней полуплоскости на наш треугольник, остается преобразовать треугольник, получаемый с помощью функции ( 63), в наш. [3]
Тогда получим в качестве отображения верхней полуплоскости многоугольник, симметричный с многоугольником / / относительно стороны А2А г ( многоугольник III на фиг. При этом если точке w верхней полуплоскости ( w) соответствует точка Z ] внутри многоугольника / ( фиг. [4]
Рй, которые являются отображениями верхней полуплоскости. Отсюда следует, что w есть эллиптическая функция второго порядка. [5]
О применении эллиптических функций к задачам об отображении верхней полуплоскости на внешность дуг эллипса, гиперболы и параболы, а также к отображению внешности двух произвольно расположенных прямолинейных отрезков или двух концентрических дуг на круговое кольцо см., например, Л. И. Седов, Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, Гостехиздат, 1950, гл. [6]
Более общие разложения в ряды можно получить, применяя отображение верхней полуплоскости и на себя. [7]
Здесь без доказательства видно, что функция ( 63) будет давать отображение верхней полуплоскости z на любой заранее данный треугольник. [8]
Согласно теореме существования и единственности функция w F ( z), осуществляющая отображение верхней полуплоскости на многоугольник D ( ( V0, 6, lj, j) при принятых условиях существует и единственна. [9]
Второй метод особенно важен для приложений, так как он дает возможность выписать ( правда, вообще говоря, лишь в виде интеграла) функцию, реализующую отображение верхней полуплоскости на произвольную область, ограниченную многоугольником. [10]
Интегрированием уравнения Шварца еще не полностью решается задача об отображении верхней полуплоскости на заданный многоугольник. Хотя вид дифференциального уравнения, которому удовлетворяет искомая функция, полностью определен, однако рациональная функция R ( w) содержит некоторое количество неопределенных параметров, связь которых с геометрическими характеристиками многоугольника заранее неизвестна. В этом состоит основная трудность столь изящного метода Шварца. Ясно, что при большом числе параметров такой способ практически почти безнадежен. [11]
Применяя принцип симметрии, построим систему многоугольников, каждый из которых является изображением относительно его сторон прилежащих к нему многоугольников. Так как многоугольники поочередно являются отображениями верхней и нижней полуплоскости ( w), то из двух соседних многоугольников, прилежащих к одной стороне, один является отображением верхней полуплоскости, а другой - нижней полуплоскости. [12]
Естественно возникает вопрос: каким образом отобразить на верхнюю полуплоскость a priori данный прямоугольник. Легко видеть, что это отображение может быть Е ыполнено с помощью функции вида At ( г) В, где А и В - постоянные. Действительно, выберем параметр k так, чтобы ( Oj / co2 равнялось отношению сторон данного прямоугольника. Тогда соответствующая этому значению k функция t, ( г) будет давать отображение верхней полуплоскости на некоторый прямоугольник, отношение сторон которого coj и о) 2 равно отношению сторон данного прямоугольника. Выполняя перенос и вращение, мы достигнем того, что центры этих прямоугольников совпадут, а стороны будут параллельны. Но так как отношения сторон в обоих прямоугольниках одинаковы, то для их полного совмещения достаточно выполнить преобразование подобия относительно их общего центра. Последние же элементарные преобразования ( перенос, вращение и подобное изменение) производятся надлежащим выбором комплексных постоянных А и В. [13]