Отображение - тип - подкова
Cтраница 1
Отображение типа подковы Отображение плоскости на плоскость, сводящееся к следующему. Нижняя половина прямоугольной области растягивается в одном направлении, сжимается в поперечном направлении и отображается на вертикальную полоску в некоторой части левой полуплоскости, а верхняя половина той же прямоугольной площадки растягивается в одном направлении, сжимается в поперечном направлении и отображается на вертикальную полоску в правой полуплоскости. Весь процесс напоминает преобразование исходной прямоугольной площадки в подковообразное множество, отсюда и название. По своим свойствам отображение типа подковы аналогично отображению пекаря. Повторные итерации отображения типа подковы могут порождать фракталоподоб-ные множества точек. [1]
 |
Развитие во времени отображения типа подковы для точе в окрестности гомоклинической траектории. [2] |
Почему гомоклинические траектории порождают отображения типа подковы, станет ясно, если мы вспомним, что в случае дисси-пативной системы площади отображаются в меньшие площади. Но вблизи неустойчивого многообразия площади растягиваются. Так как общая площадь должна убывать, площадь должна сжиматься быстрее, чем она растягивается. [3]
 |
Эволюция сферы начальных условий во времени. [4] |
Как они связаны с отображениями типа подковы. [5]
Пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий при отображении Пуанкаре порождает в окрестности каждой гомоклинической точки отображение типа подковы. [6]
Один из теоретических методов, который привел к созданию частных критериев хаотических колебаний, основан на поиске отображений типа подковы и гомоклинических траекторий в математических моделях динамических систем. Такая стратегия и математическая процедура, известная под названием метода Мельникова, привели к критериям хаоса типа числа Рейнольдса, связывающим параметры системы. В двух случаях эти критерии были проверены с помощью численных и физических экспериментов. Действуя в духе этой книги, мы не будем выводить формулы или чрезмерно вдаваться в математическую теорию метода, а вместо этого попытаемся изложить наиболее важные идеи и отошлем тех читателей, кого заинтересуют более тонкие детали, к литературе. Метод Мельникова мы продемонстриуем на двух приложениях: на колебаниях продольно изонутой балки и вращательной динамике магнитного дипольного двигателя. [7]
Хотя автор настоящей книги глубоко убежден в том, что хаотическое движение по самой своей природе более тесно связано с такими математическими образами, как отображения типа подковы, фракталами и гомоклиническими траекториями, использование полуклассических методов теории возмущений может давать для некоторых классов нелинейных систем более удобные с практической точки зрения аналитические критерии хаоса. [8]
Регулярный поток в фазовом пространстве возникает, когда трансформированный объем имеет достаточно гладкие очертания. Хаотический поток возникает, когда первоначальный объем растягивается, сжимается и складывается, как при преобразовании пекаря или отображении типа подковы. [9]
 |
Графическое решение разностного уравнения первого порядка. Показан пример квадратичного отображения. [10] |
При I / 3 I 1 отображение уменьшает площади в плоскости ху. Кроме того, оно вытягивает и изгибает области на фазовой плоскости, как это показано на рис. 1.20. В результате этого Растяжения, сжатия и изгиба или складывания областей фазового Ространства получаются области, напоминающие подкову. После-вательные итерации таких отображений типа подковы приводят появлению в фазовом пространстве сложных орбит, потере ин - Рмации о начальных условиях и хаотическому поведению. [11]
Отображение типа подковы Отображение плоскости на плоскость, сводящееся к следующему. Нижняя половина прямоугольной области растягивается в одном направлении, сжимается в поперечном направлении и отображается на вертикальную полоску в некоторой части левой полуплоскости, а верхняя половина той же прямоугольной площадки растягивается в одном направлении, сжимается в поперечном направлении и отображается на вертикальную полоску в правой полуплоскости. Весь процесс напоминает преобразование исходной прямоугольной площадки в подковообразное множество, отсюда и название. По своим свойствам отображение типа подковы аналогично отображению пекаря. Повторные итерации отображения типа подковы могут порождать фракталоподоб-ные множества точек. [12]
Критерий гомоклинической траектории является математическим приемом получения прогностического соотношения между безразмерными группами переменных физической системы. Он дает необходимое, но недостаточное условие возникновения хаоса. Критерий гомоклинической траектории может также порождать необходимое и достаточное условие предсказуемости поведения динамической системы ( см. разд. Если отбросить его сложную, несколько таинственную математическую инфраструктуру, то по существу речь идет о методе, позволяющем определить, обладает ли модель в форме обыкновенных дифференциальных уравнений или дифференциальных уравнений в частных производных свойствами отображения типа подковы или преобразования пекаря. [13]
Отображение типа подковы Отображение плоскости на плоскость, сводящееся к следующему. Нижняя половина прямоугольной области растягивается в одном направлении, сжимается в поперечном направлении и отображается на вертикальную полоску в некоторой части левой полуплоскости, а верхняя половина той же прямоугольной площадки растягивается в одном направлении, сжимается в поперечном направлении и отображается на вертикальную полоску в правой полуплоскости. Весь процесс напоминает преобразование исходной прямоугольной площадки в подковообразное множество, отсюда и название. По своим свойствам отображение типа подковы аналогично отображению пекаря. Повторные итерации отображения типа подковы могут порождать фракталоподоб-ные множества точек. [14]
Страницы: 1