Cтраница 1
Непрерывное отображение топологического пространства X в топологическое пространство Y есть такое отображение, при котором прообразы открытых множеств открыты. [1]
Если / - непрерывное отображение топологического пространства X в отделимое пространство X и R - отношение эквивалентности f ( x) f ( y), то факторпространство X / R отделимо. [2]
Обратно, если дано открытое непрерывное отображение топологического пространства М на топологическое пространство N, удовлетворяющее аксиоме Га, то соответствующая эквивалентность 0 на М полно непрерывна и естественное отображение M / Q - N является гомеоморфизмом. [3]
ТЕОРЕМА 6.16. Любые два непрерывных отображения произвольного топологического пространства в пространство, стягиваемое в точку, гомотопны. [4]
В называется топологическим, если ф - непрерывное отображение топологического пространства Л в топологическое пространство В. Изоморфизм ф: Л - - В топологических правых / - модулей называется топологическим, если ф - гомеоморфизм топологических пространств Л и В. [5]
Обозначим через Я ( X, У) - множество всех непрерывных отображений топологического пространства X в топологическое пространство У. Эти классы эквивалентности называют гомотопическими классами. Отображения, принадлежащие одному и тому же гомотопическому классу, в целом ряде вопросов имеют одинаковые свойства, что часто позволяет заменять изучаемое отображение более простым, ему гомотопным. [6]
Если /: X - v У - накрывающее отображение топологического пространства X на пространство У и ф: Z - у X - непрерывное отображение топологического пространства Z на X, то композиция f ф: Z - У непрерывна. [7]
Отображение h топологической группы О в топологическую группу Н называется гомоморфным, или гомоморфизмом, если 1) Л является гомоморфным отображением группы G в группу Я; 2) h является непрерывным отображением топологического пространства G в топологическое пространство Я. Имеет место следующее утверждение ( см. [207]): Теорема 1.2. Пусть G и Н две топологические группы и h - открытое гомоморфное отображение группы G на группу Н с ядром гомоморфизма N. Тогда N есть нормальный делитель топологической группы G и топологическая группа Н изоморфна топологической группе G / N. Более полно: если у есть некоторый элемент группы Н и Yh - l ( y) f то YGG / N. Полученное таким образом взаимно однозначное соответствие между элементами топологических групп GfN и Н осуществляет изоморфизм этик групп, который называется естественным. [8]
В частности, непрерывное отображение топологического пространства X в числовую прямую называется непрерывной функцией на этом пространстве. [9]