Cтраница 1
Гомоморфное отображение группы в себя называется ее эндоморфизмом, а изоморфное отображение группы на себя - ев автоморфизмом. [1]
Гомоморфное отображение группы в себя называется еще ее эндоморфизмом. [2]
Гомоморфное отображение группы Gt ( или любой другой алгебраической структуры Sj) в группу G2 ( в алгебраическую структуру S2), при котором для каждого элемента из G2 ( из S2) существует прообраз. [3]
Мы займемся теперь гомоморфными отображениями группы, обращая особое внимание на то, как действует отображение на подгруппах группы. [4]
Изоморфизм, т.е. взаимно-однозначное гомоморфное отображение абстрактно равных групп, позволяет распространить полученные результаты для одной группы на группу, изоморфную ей, так как изоморфные группы имеют одну и ту же групповую структуру. [5]
Среди гомоморфизмов встречаются и гомоморфные отображения групп в себя. Такие гомоморфизмы называются эндоморфизмами. [6]
Так как функция eiKt осуществляет гомоморфное отображение группы вещественных чисел в К-группу, то соотношение (4.5.3) показывает, что функция w порождает гомоморфное отображение динамической системы ( N) в К-систему. [7]
Таким образом, существует 2 различных гомоморфных отображений группы Я. Но фиксированная - порожденная группа многообразия - У представляется эпиморфным образом группы Н - Рь ( Щ не более чем счетным количеством способов, так как эпиморфизм определяется образом фиксированного порождающего множества группы Я. [8]
Даны две группы G и Я и дано гомоморфное отображение группы G в группу автоморфизмов группы Я. [9]
Отображение h топологической группы О в топологическую группу Н называется гомоморфным, или гомоморфизмом, если 1) Л является гомоморфным отображением группы G в группу Я; 2) h является непрерывным отображением топологического пространства G в топологическое пространство Я. Имеет место следующее утверждение ( см. [207]): Теорема 1.2. Пусть G и Н две топологические группы и h - открытое гомоморфное отображение группы G на группу Н с ядром гомоморфизма N. Тогда N есть нормальный делитель топологической группы G и топологическая группа Н изоморфна топологической группе G / N. Более полно: если у есть некоторый элемент группы Н и Yh - l ( y) f то YGG / N. Полученное таким образом взаимно однозначное соответствие между элементами топологических групп GfN и Н осуществляет изоморфизм этик групп, который называется естественным. [10]
Соответствие Г: А н - Г 4 между комплексными матрицами второго порядка с определителем 1 и собственными преобразованиями Лоренца является гомоморфным отображением группы 51 / 2 ( С) на группу L всех собственных преобразований Лоренца. Каждому собственному преобразованию Лоренца отвечают ровно две комплексные матрицы А и - А, различающиеся лишь знаком. [11]
Задача о классификации произвольных простых подалгебр была принципиально решена М а л ь ц е в ы м [15] с помощью теории представлений Картана. Гомоморфное отображение группы G1; в О было названо выше представлением Ог в G. Два представления Ог в G называются эквивалентными, если одно из них переводится в другое внутренним автоморфизмом G. [12]
Отображение h топологической группы О в топологическую группу Н называется гомоморфным, или гомоморфизмом, если 1) Л является гомоморфным отображением группы G в группу Я; 2) h является непрерывным отображением топологического пространства G в топологическое пространство Я. Имеет место следующее утверждение ( см. [207]): Теорема 1.2. Пусть G и Н две топологические группы и h - открытое гомоморфное отображение группы G на группу Н с ядром гомоморфизма N. Тогда N есть нормальный делитель топологической группы G и топологическая группа Н изоморфна топологической группе G / N. Более полно: если у есть некоторый элемент группы Н и Yh - l ( y) f то YGG / N. Полученное таким образом взаимно однозначное соответствие между элементами топологических групп GfN и Н осуществляет изоморфизм этик групп, который называется естественным. [13]
Если длины рядов коммутантов разрешимых нормальных делителей G ограничены в совокупности, то в силу локального условия группа G будет разрешимой. Поэтому допустим, что G содержит последовательность возрастающих разрешимых нормальных делителей Ht, длины цепочек коммутантов которых растут. СИ Ns N - возрастающий центральный ряд группы N, образованный ее характеристическими подгруппами и такой, что все фактор-группы Ni l / Nt являются либо абелевыми группами конечного ранга без кручения, либо прямыми произведениями конечного числа групп типа р, либо конечными абелевыми группами. Внутренний автоморфизм группы Н, производимый ее произвольным элементом а, индуцирует некоторый автоморфизм Qt в каждой фактор-группе Ni l / Ni. Поскольку характеристика полей равна нулю, то эти поля можно считать подполями одного и того же поля. Ставя элементу а в соответствие прямую сумму матриц 6г, мы получим гомоморфное отображение группы Н в группу матриц. Обозначим ядро этого отображения через R. Фактор-группа HIR локально разрешима и представима изоморфно матрицами. Но из теоремы 1 следует, что всякая локально разрешимая группа матриц является разрешимой. [14]