Cтраница 2
Уравновешенной неполной блок-схемой называется такая конфигурация на множестве из v элементов, что каждое ее подмножество ( блок) состоит из k элементов и каждая пара различных элементов множества появляется вместе точно в К подмножествах. Этот термин происходит из теории планирования экспериментов. [16]
Признаком уравновешенных неполных блок-схем является одинаковая частота появления пар элементов при одинаковой величине блоков; отсюда вытекает также одинаковость числа появлений каждого элемента в блоках. Эти условия на конфигурацию, конечно, являются ограничительными. Однако все конфигурации, сколько-нибудь интересные в теоретическом или прикладном отношении, обязательно подчиняются тем или иным ограничениям. Сейчас мы обсудим вопросы существования конфигураций при некоторых видах ограничений. [17]
А: At встречается в паре с каждым другим п - 1 объектом ровно р раз, точно так же Ai входит в q блоков и в каждом из них сочетается с k - 1 другим объектом. Эти два основных соотношения являются необходимыми, но не достаточными условиями существования уравновешенной неполной блок-схемы при заданном наборе параметров. [18]
Если необходимо проверить относительно большое число сортов, можно вести эксперимент, высеивая на несколько участков и допуская, что урожайность на каждом отдельном участке постоянная. Если предназначить v сортов для Ъ участков, то, распределяя сорта по участкам в соответствии с уравновешенной неполной блок-схемой, можно провести статистическое исследование урожая, который не зависит от плодородия различных участков. [19]
При изучении комбинаторных конфигураций возникает одно специфическое затруднение. А именно, пусть заданы две конфигурации на одном и том же множестве, в которых подмножества, состоящие из одинакового числа элементов, встречаются одинаковое число раз, например две уравновешенные неполные блок-схемы с одинаковыми параметрами или два графа с одинаковым числом ребер. Возникает естественный вопрос: имеем ли мы дело с двумя на самом деле разными конфигурациями или перед нами фактически одна и та же конфигурация, только по-разному представленная. Ведь для данной конфигурации возможна другая нумерация элементов множества или подмножества конфигурации. При этом, хотя мы, по сути дела, не получили ничего нового, обнаружить сходство первоначальной и вновь полученной конфигурации иной раз не просто. Чтобы иметь возможность в принципе различать две существенно разные конфигурации от двух представлений одной и той же конфигурации, вводится понятие изоморфизма комбинаторных конфигураций. [20]
Вь содержит k элементов, но различные блоки Bt и В / могут содержать одни и те же элементы. Таким образом, блок-схема - это не просто совокупность подмножеств некоторого множества, а некоторая конструкция из элементов и блоков с отношением инцидентности, указывающим, какие элементы какому блоку принадлежат. Термин уравновешенная неполная блок-схема, применяемый в статистике, происходит из теории планирования экспериментов. [21]
Уравновешенные неполные блок-схемы с X 1 обладают многими привлекательными свойствами и встречаются во многих комбинаторных исследованиях. Внимание к ним обусловлено, прежде всего, тем, что целый ряд классических комбинаторных объектов либо представляют собой блок-схемы с Я, 1, либо тесно связаны с ними. К 1 могут быть построены из них простым дублированием. Действительно, пусть дана уравновешенная неполная блок-схема с параметрами b, v, r, / с, К. Заметим, впрочем, что иногда случается и по-другому: блок-схему с таким, например, удвоенным множеством параметров 2b, v, 2r, k, 2k построить удается, в то время как блок-схемы с параметрами b, v, r, k, К не существует. [22]