Cтраница 1
Аффинная несмещенная оценка W / 3 для W ( 3 существует тогда и только тогда, когда col ( VK) С со. [1]
Следовательно, наилучшая аффинная несмещенная оценка является также аффинной несмещенной оценкой с минимальным следом, обратное, вообще говоря, неверно. Если же аффинная несмещенная оценка с минимальным следом единственна ( что выполняется всегда в настоящей главе), то она является и наилучшей аффинной несмещенной оценкой, конечно, в тех случаях, когда последняя существует. [2]
V) п.н. Наилучшая аффинная несмещенная оценка W / 3 для W ( 3 существует тогда и только тогда, когда col ( VK7) С со. [3]
Однако когда Ъ ограничено, наилучшая аффинная несмещенная оценка, вообще говоря, не является линейной. [4]
До сих пор нет никаких гарантий, что аффинная несмещенная оценка существует, или даже, если она существует, что она будет единственной. [5]
Покажем теперь, что W ( 3 - не просто аффинная несмещенная оценка для W / 3 с минимальным следом, а она является наилучшей аффинной несмещенной оценкой. Тогда c W / З есть аффинная несмещенная оценка для cfW / 3 с минимальным следом. [6]
Оценка / 3 для / 3, которая в классе аффинных несмещенных оценок минимизирует определитель матрицы var ( / 3) ( вместо следа), также равна / 3 ( X1 Х) - 1Х у. Однако критерий наименьшего определителя имеет определенные недостатки по сравнению с подходом, в котором используется след. [7]
Однако доказательство того, что эта оценка является наилучшей в классе аффинных несмещенных оценок для VK / 3, существенно отличается от соответствующего доказательства теоремы 1 и является более полезным как метод доказательства вообще. [8]
Отсюда следует, что Х ( Х У-1 Х) Х У-1 у есть аффинная несмещенная оценка для Х / 3 с минимальным следом. Следовательно, она и будет наилучшей аффинной несмещенной оценкой для Х / 3 в случае, если последняя существует. [9]
Если существует по крайней мере одна такая несмещенная оценка для W / 3 ( т.е. если класс аффинных несмещенных оценок не пуст), то будем называть функцию W / 3 оцениваемой. Если W ( 3 - оцениваемая, то интерес представляют наилучшие оценки среди всех аффинных несмещенных оценок. Следующее определение дает более строгое описание данного понятия. [10]
Теоремы 15, 16 и следствия из них доказывают поразительный и нетривиальный факт, что метод наименьших квадратов ( при наличии ограничений) приводит к наилучшей аффинной несмещенной оценке. [11]
Следовательно, наилучшая аффинная несмещенная оценка является также аффинной несмещенной оценкой с минимальным следом, обратное, вообще говоря, неверно. Если же аффинная несмещенная оценка с минимальным следом единственна ( что выполняется всегда в настоящей главе), то она является и наилучшей аффинной несмещенной оценкой, конечно, в тех случаях, когда последняя существует. [12]
В теореме 5 рассмотрен случай, когда каждая строка матрица R является линейной комбинацией строк матрицы X, при этом r ( X: R) г ( Х) и класс оцениваемых функций остается прежним. Как будет видно, наилучшая аффинная несмещенная оценка имеет в этом случае довольно простой вид. [13]
Однако не все так плохо. Мы покажем, что всегда существует аффинная несмещенная оценка для Х / 3, и получим выражение для наилучшей в классе аффинных несмещенных оценок. [14]
Покажем теперь, что W ( 3 - не просто аффинная несмещенная оценка для W / 3 с минимальным следом, а она является наилучшей аффинной несмещенной оценкой. Тогда c W / З есть аффинная несмещенная оценка для cfW / 3 с минимальным следом. [15]