Cтраница 2
Внутреннее правдоподобие может уменьшаться в связи с появлением ошибок чисто математического характера. Эти ошибки могут быть весьма разнообразными. Прикладное математическое исследование не может и не должно по своей строгости находиться на уровне чистой математики, однако это не значит, что исследователь можег допускать математические ошибки, приводящие к заведомо неверным результатам. Важно предотвратить математические ошибки, которые могут возникать из-за недостаточной разработанности аспектов приложений той или иной области математики к конкретным задачам. Условия возможности применяемых упрощений при этом оказываются недостаточно ясными. В результате может получиться, что исследователь приходит к неправильному решению, полагая, что он упрощает или даже уточняет его. [16]
Поиск ошибок не следует рассматривать как проявление дурного характера или првдирчивость. Не следует упускать из виду, что избежать ошибки необычайно трудно и ошибались даже самые выдающиеся математики, поэтому в том, чтобы совершить ошибку, нет ничего позорного. Устранение ошибки, сколько бы раз оно ни производилось, оказывает услугу науке. Но есть еще одна причина, по которой составление коллекции математических ошибок имеет большое значение, в особенности для тех, кто собирается изучать математику. Такая коллекция становится одним из наиболее сильнодействующих средств обучения. Студент, получивший задание найти ошибку в той или иной работе и заранее знающий, что ошибка там действительно есть, выполняет самостоятельную работу, приносящую ему немалое удовлетворение. В то же время он уверен, что, проследив шаг за шагом всю цепь доказательств, непременно обнаружит треснувшее звено. От него требуется не изобретательность, а гарантия, что данную ему работу он внимательно прочитал и глубоко разобрался в ее содержании. [17]
Устранение незатухающих собственных колебаний обусловлено резонансным взаимодействием колебаний с потоком. В [133] также показано, что вывод о неустойчивости потока при выполнении условия dVo / dx 2cjpe, сделанный в работе [134], обязан математической ошибке. [18]
Принимая во внимание важность кривой спроса в мар-шаллианском анализе, другие экономисты, естественно, должны дать строгое определение, чтобы заполнить брешь, оставленную Маршаллом. Это и произошло в скором времени, по-видимому, без спора относительно интерпретации, намеченной в замечаниях Маршалла. Получившееся в результате определение кривой спроса является теперь настолько существенной частью современной экономической теории и так широко принято как определение именно Маршалла, что утверждение, что сам Маршалл не дал явного строгого определения, может шокировать большинство читателей. И все же то, почему именно эта интерпретация развивалась и почему она получила такое бесспорное одобрение, является тайной, которая требует объяснения. Общепринятая интерпретация может приписываться Маршаллу только при вольном и, я думаю, тенденциозном прочтении его замечаний, а ее одобрение косвенно ставит ему в вину логическую противоречивость и математическую ошибку в самом основании его теории спроса. Более важным является то, что альтернативная интерпретация кривой спроса, которая получается при буквальном прочтении его замечаний, не только избавляет его оригинальную работу по теории спроса от логической противоречивости и математической ошибки, но также является более полезной для анализа большинства экономических проблем. [19]
Принимая во внимание важность кривой спроса в мар-шаллианском анализе, другие экономисты, естественно, должны дать строгое определение, чтобы заполнить брешь, оставленную Маршаллом. Это и произошло в скором времени, по-видимому, без спора относительно интерпретации, намеченной в замечаниях Маршалла. Получившееся в результате определение кривой спроса является теперь настолько существенной частью современной экономической теории и так широко принято как определение именно Маршалла, что утверждение, что сам Маршалл не дал явного строгого определения, может шокировать большинство читателей. И все же то, почему именно эта интерпретация развивалась и почему она получила такое бесспорное одобрение, является тайной, которая требует объяснения. Общепринятая интерпретация может приписываться Маршаллу только при вольном и, я думаю, тенденциозном прочтении его замечаний, а ее одобрение косвенно ставит ему в вину логическую противоречивость и математическую ошибку в самом основании его теории спроса. Более важным является то, что альтернативная интерпретация кривой спроса, которая получается при буквальном прочтении его замечаний, не только избавляет его оригинальную работу по теории спроса от логической противоречивости и математической ошибки, но также является более полезной для анализа большинства экономических проблем. [20]
В модели кругового пласта постоянный дебит нагнетания есть краевое условие, а вовсе не аналог отжимания, которое идет по всей площади и к тому же неравномерно, со скоростью, изменяющейся и по площади, и во времени. Кроме того, переход от постоянства dp / dt в пространстве к постоянству коэффициента аномальности для каждой точки во времени явно не обоснован. Пусть в течение времени At в каждой из точек скорость изменения давления одинакова, а за время At давление падает на 5 МПа. Из этого примера сразу же видно, что коэффициенты аномальности меняются, причем неодинаково. Словом, все построение авторов содержит ряд логических и математических ошибок, которые начинаются с неверного состава уравнения. [21]
Эрвин Маделунг, впоследствии ставший моим преемником во Франкфурте, и Альфред Ланде, ныне профессор Колумбийского университета в Огайо. Мы были совершенно гарантированы от того, чтобы наш майор заметил различие между акустическими формулами по звукометрическим методам и другими нашими иероглифами. В этих условиях было произведено первое вычисление маделунговской константы, которую мы с Ланде использовали для решения нашей проблемы при вычислении энергии ионной решетки и применении этих результатов к определению физических констант и теплоты химических связей. Когда спустя несколько дней я посетил нашу комнату в Артиллерийской комиссии, я нашел Ланде в отчаянии: в формуле для энергии мы забыли учесть фактор / 2 - оплошность, от которой предостерегается каждый новичок в теоретическом семинаре. В первый раз я услышал тогда его великолепный хохот; смех немного смутил меня, но не расстроил. Именно математическая ошибка привела нас к правильной физике, и работа была спасена. Речь опять идет об отказе от классической механической модели ( она дает только половину наблюдаемого значения энергии решетки), и это было новой вехой на пути к построению квантовой теории. Не следует падать духом, если не сразу ясно, что разумная идея соответствует истине, - это поуче ние из уст Эйнштейна много раз мне помогало в дальнейшем. [22]