Симметричное случайное блуждание

Cтраница 3

Это утверждение доказывается посредством элементарного интегрирования, однако предпочтительнее получить его как следствие того, что F имеет область притяжения. Действительно, пусть в симметричном случайном блуждании Sr обозначает момент г-го возвращения в начало координат. [31]

С другой стороны, следует даже в мыслях избегать отождествления этого значения с размерностью некоего среднего для данной совокупности множества. Давайте, к примеру, представим себе картину симметричного случайного блуждания и попробуем определить среднее блуждание. Если оно представляет собой процесс, при котором каждое последующее положение является средним от соответствующих положений всей совокупности блужданий, то такое среднее блуждание нигде не блуждает: точке так и не удается покинуть свое исходное положение. [32]

То же самое справедливо в случае, когда размерность больше трех. Это основное различие между двумерным и трехмерным случаями тесно связано с тем фактом ( см. Ш / 5а), что в случае двумерной квадратной решетки при симметричных случайных блужданиях каждый узел достигается с вероятностью 1, а в трехмерном случае это неверно. [33]

Этот результат можно получить, проделав элементарные вычисления, но это неинтересно, и мы предпочитаем вывести (3.4) из предельной теоремы 3 из 1; гл. Рассмотрим простое симметричное случайное блуждание ( бросание монеты) и обозначим через Т момент первого возвращения в нуль. [34]

Траектория движения частицы. [35]

Полученный график и есть траектория движения частицы. Таким образом, в симметричном случайном блуждании любое событие, состоящее в достижении частицей некоторого множества точек на прямой, имеет вероятность, пропорциональную числу траекторий, заканчивающихся в точках этого множества. [36]

Представим себе, что некоторая частица ( подвижная точка) перемещается в дискретные моменты времени по целым точкам числовой прямой, расположенной вертикально. Предположим, что движение частицы вверх и вниз на один шаг равновозможно, т.е. происходит с вероятностями 1 / 2 каждое. Тогда говорят, что частица совершает простое симметричное случайное блуждание на прямой. Рассмотрим график случайного блуждания в пространственно-временной системе координат, где ось абсцисс выступает в роли оси времени, а ось ординат по-прежнему служит для указания положения частицы. [37]

Предположим, что п монет подбрасываются поодиночке. Обозначим через Xfe время ожидания до первого момента, когда у & - й монеты число выпавших решеток будет равно числу выпавших гербов. Случайные величины Xfe взаимно независимы и одинаково распределены; каждая случайная величина h принимает только положительные четные значения и P Xft2rj / ar, причем распределение вероятностей / 2г определяется формулой (3.7) гл. Такое же распределение имеет момент п-го возвращения в начало в симметричном случайном блуждании. Как показано в теореме 4 гл. [38]

Страницы: 1 2 3