Cтраница 2
Энергетический метод важен для построения приближенных решений задач изгиба пластин сложной формы, когда интегрирование дифференциальных уравнений затруднительно. [16]
Все излагаемые в данной книге вопросы теории упругости ( кроме задачи изгиба пластин) рассматриваются в линейной постановке. [17]
Недавно появились две работы [14, 15], описывающие применение ПМГЭ к задачам изгиба пластин, в которых рассматриваются свободно опертые пластины. Наконец, в работе [16] представления ПМГЭ для задач упругого изгиба тонких пластин были распространены на случай нелинейного изгиба. [18]
Как будет показано в дальнейшем, например в случае плоской задачи теории упругости и задачи изгиба пластин, аппарат конформных отображений является менее эффективным. Дело в том, что бигармоническое уравнение, к которому сводятся эти задачи, уже не является инвариантным относительно конформного отображения и при замене переменных происходит существенное усложнение структуры уравнения. Однако в этом случае удается получить эффективные решения, когда отображающая функция имеет вид полинома или дробно-рациональной функции. [19]
Для иллюстрации возможностей и оценки эффективности предложенного в § 3.2 алгоритма приведены результаты решения задач изгиба гибких линейно-упругих пластин различной формы при граничных условиях шарнирного закрепления и жесткой заделки и их комбинациях, находящихся под действием сосредоточенных и распределенных нагрузок. Дан численный анализ скорости сходимости итерационного процесса в зависимости от выбора параметров релаксации а, а, а. Проведено сравнение результатов с решениями, имеющимися в литературе. При решении задачи МГЭ контур пластины был разбит на 20 одинаковых по длине элементов. [20]
Вторая задача, описываемая системой уравнений (19.8) относительно трех обобщенных перемещений ual, и30, представляет задачу изгиба пластины с учетом поперечных сдвигов. [21]
Эту главу мы посвятим выводу классических и модифицированных вариационных принципов для изгиба тонких упругих пластин, потому что задачи изгиба пластин часто используются в качестве примеров при численных расчетах различными методами конечных элементов. Если не будет оговорено противное, то используются обозначения гл. Сначала будет дан обзор основных соотношений теории изгиба пластин. [22]
В частности, для пластины, подкрепленной по противоположным краям у 0 и у h ребрами произвольных плоскостей на изгиб и на кручение и загруженной по краю у Л, преобразование по методу начальных функций при переходе с края у 0 на край у h определится прежним соотношением ( 7), где матрицы L и А и векторы Fо и F теперь соответствуют задаче изгиба пластины. Последнее означает, что при переходе от плоского напряженного состояния к случаю изгиба необходимо в соотношениях ( 5), ( 6) компоненты вектора основных расчетных величин и индексы в коэффициентах матрицы начальных функций U, V, Y, X соответственно заменить на W, Ф, М и Q. Что касается матриц Ль и Л2, то они останутся прежнего вида за исключением лишь того, что знаки при коэффициентах жесткости GI и с2 для принятого правила знаков, рис. 13, следует взять обратными. [23]
Выше в § 1 было показано, что при решении задач кручения л изгиба, сводящихся к гармоническим проблемам, применение - нгаарата конформных отображений сразу же позволяет в принципе получить решение в форме некоторого интеграла ( интеграла Шварца), причем, если отображающая функция - рациональная, то решение строится в явном виде. При рассмотрении же плоской задачи и задачи изгиба пластин, сводящихся к би-гармонической проблеме, дело обстоит гораздо сложнее. Применение конформных отображений позволяет получить эффективные результаты лишь в случае, когда отображающая функция является дробно-рациональной. Ограничимся для простоты случаем, когда отображающая функция - рациональная. [24]
Выше в § 1 было показано, что при решении задач кручения и изгиба, сводящихся к гармоническим проблемам, применение аппарата конформных отображений сразу же позволяет в принципе получить решение в форме некоторого интеграла ( интеграла Шварца), причем, если отображающая функция - рациональная, то решение строится в явном виде. При рассмотрении же плоской задачи и задачи изгиба пластин, сводящихся к би-гармонической проблеме, дело обстоит гораздо сложнее. Применение конформных отображений позволяет получить эффективные результаты лишь в случае, когда отображающая функция является дробно-рациональной. Ограничимся для простоты слу чаем, когда отображающая функция - рациональная. [25]
Таким образом, сравнение с результатами метода R-функций подтверждает достоверность результатов МГЭ. При этом, в отличие от метода R-функций, получено аналитическое решение задачи изгиба пластины с неканонической областью в плане и определены первые приближения для изгибающих моментов в сингулярной точке О. [26]
Для решения задач устойчивости, как мы уже выяснили, уравнения равновесия должны составляться для деформированного состояния упругого тела. Соответственно, применяя вариационное уравнение, в нем необходимо удерживать квадратичные члены в формулах для деформаций, как это было сделано для общей теории в § 12.2 и для задачи об устойчивости стержня в § 12.3. В задачах изгиба пластин достаточно удерживать те квадратичные члены, которые зависят от прогиба w, производные от перемещений иа мы сохраним лишь в первой степени. [27]
Формула (8.86) носит общий характер, хотя и получена на примере плоской задачи. Чтобы ею воспользоваться, необходимо построить только две матрицы, а именно: матрицу закона Гука D, связывающую напряжения и деформации ( или усилия и деформации), и матрицу В, которая позволяет перейти от перемещений к деформациям в элементе. Это иллюстируется далее на примере задачи изгиба пластины. [28]
С помощью линеаризованных уравнений и энергетического критерия исследуют устойчивость плоского напряженного состояния тонких упругих пластин. Но ни линеаризованные уравнения, ни энергетический критерий устойчивости ( в какой бы форме он не был записан) не дают непосредственной информации о том, как будет деформироваться пластина после потери устойчивости. Для описания закритического деформирования необходимо решить задачу изгиба пластины в нелинейной постановке. [29]
Здесь поперечная сила имеет в граничной точке / особенность, связанную со спецификой метода. Она возникает из-за того, что в этой точке прикладывается сосредоточенный момент. Аналогичная ситуация возникает при применении метода граничных элементов в задаче изгиба пластин. Там поперечная сила выражается через суперсингулярный интеграл. [30]