Cтраница 1
Признак Больцано-Коши: последовательность [ хп ], сходящаяся в себе, имеет конечный предел. [1]
Отсюда вытекает, как и в 82, 2-я теорема Больцано-Коши, которая, впрочем, могла бы быть получена и сразу. [2]
Так как многочлен - непрерывная функция на всем множестве действительных чисел, то по теореме Больцано-Коши обязательно найдется такая точка хй, в которой этот многочлен обратится в нуль, и, следовательно, алгебраическое уравнение обратится в тождество. [3]
Для своеобразного предельного процесса, с помощью которого из стилтьесовой суммы получается интеграл Стилтьеса, имеет место принцип сходимости Больцано-Коши. [4]
Если, сверх того, на концах промежутка функция f ( x) имеет значения f ( d) и f ( b) разных знаков, то, как это было разъяснено в п 81, в связи с применением 1 -и теоремы Больцано-Коши, последовательно деля на части промежуток, содержащий корень, и определяя знак функции f ( x) в точках деления, можно произвольно сужать этот промежуток и тем осуществлять приближенное вычисление корня. Однако этот прием, несмотря на его принципиальную простоту, на практике часто оказывается непригодным, ибо требует слишком большого количества вычислений. В настоящем параграфе читатель познакомится с простейшими приемами приближенного вычисления ( изолированного) корня уравнения ( 1), которые более систематически и более быстро ведут к цели. [5]
Свойство пространства Гильберта L2, установленное в этой теореме, называют полнотой, этого пространства. Читатель конечно заметил, что теоремы 4 и 5 являются аналогом известного признака сходимости Больцано-Коши. [6]
Покажем теперь, как лемма Б о р е л я может быть использована для доказательства основных теорем о непрерывных функциях Больцано-Коши, Вейерштрасса и Кантора. [7]
Пусть условие, указанное в теореме, выполнено. Тогда, какое бы значение х из SC ни фиксировать, в лице последовательности ( 1) мы будем иметь числовую последовательность, для которой выполняется условие Больцано-Коши. [8]