Большинство - дифференциальное уравнение
Cтраница 1
Большинство дифференциальных уравнений не допускает ни точного аналитического решения, ни сколько-нибудь полного качественного исследования. Теория возмущений представляет собой в высшей степени полезный набор методов исследования уравнений, близких к уравнениям специального вида. Эти уравнения специального вида называются невозмущенными, и их решения предполагаются известными. Теория возмущений учитывает влияние небольших изменений дифференциальных уравнений на поведение решений. [1]
Так как решения большинства дифференциальных уравнений и систем уравнений не выражаются через элементарные функции или квадратуры, то в этих случаях при решении конкретных дифференциальных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. [2]
Такие системы удобнее для изучения в общей теории и обладают определенными преимуществами даже тогда, когда имеются в виду вычислительные цели. Кроме того, большинство дифференциальных уравнений математической физики возникает первоначально в виде системы уравнений, из которых затем путем исключения выводится одно уравнение высшего порядка. [3]
Если возможно, дифференциальное уравнение решается в точном виде. Учебники дифференциальных уравнений часто оставляют впечатление, что в точном виде можно решить большинство дифференциальных уравнений, но опыт работы не подтверждает этого. Для получения приближенных решений пригодны различные аналитические методы, и перед тем, как обратиться к численному решению, надо исследовать также и их. [4]
Вычислительные возможности структурных АВМ наиболее приспособлены для воспроизведения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Это свойство структурных АВМ особенно ценно в связи с тем, что решения большинства дифференциальных уравнений, представляющих интерес для практики, ке удается получить в аналитическом виде. Современная математическая классификация и разделение дифференциальных уравнений по типам отражает отсутствие единого метода отыскания аналитического решения уравнений. Дифференциальные уравнения объединяют в какой-либо класс после того, как удалось отыскать единообразный прием аналитического получения их решений. Иное положение складывается при программировании АВМ. Здесь существует единый прием, единый метод программирования АВМ для воспроизведения решений дифференциальных уравнений. Правда, в чистом виде этот общий метод применим лишь к дифференциальным уравнениям, разрешенным относительно старшей производной. Если же исходное уравнение не разрешено относительно старшей производной, то уравнение с помощью специальных приемов приводят в форму, удобную для применения общего метода, или путем некоторого преобразования, или путем перехода к новому дифференциальному уравнению более высокого порядка, но уже разрешенного относительно старшей производной. [5]
Однако большинство дифференциальных уравнений, моделирующих физические системы, нельзя решить аналитически. Исключением из этого правила является класс задач с импульсными силами, крутящими моментами или напряжениями. [6]
Наиболее хорошо разработанный и широко применяемый подход, использующий подобие моделей, основан на так называемом инвариантно-групповом методе исследования дифференциальных уравнений. Действительно, большинство дифференциальных уравнений, представляющих собой составную часть математических моделей многих явлений, остаются неизменными ( инвариантными) при некоторых преобразованиях входящих в них независимых переменных и искомых функций. [7]
 |
Основная схема потенциометра ( а. добавление усилителя для снижения погрешности, зависящей от нагрузки ( б. [8] |
Операция дифференцирования может выполняться с помощью операционного усилителя, на входе которого включен конденсатор, а в цепь обратной связи - сопротивление. Схема дифференцирования подвержена влиянию шумов. Если в случае интегрирования электростатические и индукционные наводки на цепь суммирующей точки ( например, со стороны шин пита-ния) сглаживаются, то в случае дифференцирования они, наоборот, усиливаются. Любой случайный даже слабый скачок входного напряжения усиливается в процессе дифференцирования и может исказить действительное значение производной, получаемой при выполнении операции. Ввиду этого много усилий прилагается к тому, чтобы в аналоговых вычислительных машинах избежать применения дифференцирующих звеньев и, где только можно, использовать интеграторы. При решении большинства дифференциальных уравнений это достигается за счет соответствующих преобразований исходной системы уравнений. Подробно такие методы рассмотрены в гл. [9]
Страницы: 1