Cтраница 1
Бонахон и Отал [1] построили семейство таких многообразий с геодезическими произвольно малой длины. [1]
Теорема Бонахона имеет много других следствий, из которых - мы приведем только два - связанные с компактификацией многообразий и с проблемой Альфорса о мере предельного множества клейновой группы. [2]
Другим важным приложением теоремы Бонахона является следующее утверждение, дающее сильное продвижение в решении проблемы Альфорса. [3]
Доказательство первой части этого утверждения ( см. Бонахон [ 1, предл. Второе утверждение о несжимаемости 6МС следует из того, что в противном случае по лемме Дена ( теорема 7.6) существует диск, разбивающий Мс и дающий нетривиальное разложение группы ях ( Мс) в свободное произведение А В ( теорема 7.8), в котором каждый параболический элемент сопряжен элементу из А или В. [4]
Доказательство этого факта является непосредственным следствием теоремы Бонахона ( теорема 7.50 и следствие 7.54) и теоремы 7.47, доказанной Терстоном [1, 9.4.2] при помощи несмятых поверхностей. [5]
Доказательство этого утверждения в с пучае группы G без кручения непосредственно следует из теоремы Бонахона ( теорема 7.50 и следствие 7.54) и следующего утверждения Терстона [ 1, теорема 8.12.4 ] о геометрически ручных группах, обобщающего теорему Альфорса [2] о геометрически конечных группах ( см. следствие 5.32, ср. [6]
Заметим, что подмножество yczS, состоящее из точек несмятой поверхности S ( определение 7.41), содержащихся в единственном отрезке геодезической, переводящемся изометрией / в отрезок геодезической в М, является геодезической ламинацией на поверхности S. Однако введенное Бонахоном понятие геодезического потока лучше приспособлено для изучения концов многообразия М ( G), чем реализация Терстона геодезических ламинации при помощи несмятых поверхностей. [7]
Построение таких вложений основывается на следующей лемме об ограниченном диаметре ( см. Бонахон [1]; ср. [8]
Теорема 7.47 показывает, что геометрически ручные многообразия допускают компактификацию, а из теоремы 7.45 следует, что компактифицировать можно любое гиперболическое многообразие, отвечающее точкам замыкания пространства Тейхмюллера геометрически ручной клейновой группы. Дальше мы приведем решение Бонахона [1] этой проблемы в основном случае конечно порожденных неразложимых в свободное произведение клейновых групп. Перед этим мы приведем пример геометрически бесконечного многообразия, не являющегося геометрически ручным. [9]