Cтраница 1
Задачи комбинаторной геометрии отличаются очень большим разнообразием; при этом формулировки их, как правило, опираются лишь на самые простые геометрические понятия и факты и доступны любому школьнику. Решения же задач комбинаторной геометрии зачастую оказываются весьма сложными; целый ряд основных для этого раздела задач не решен и по сей день. [1]
ХАДВИГЕРА ГИПОТЕЗА - задача комбинаторной геометрии о покрытии выпуклого тела фигурами специального вида, выдвинутая X. [2]
Эта глава посвящена рассмотрению четырех тесно связанных между сабой задач комбинаторной геометрии. Стержнем главы является известная гипотеза Хадвигера [1] о том, что ограниченное выпуклое тело / ( может быть покрыто не более чем 2П телами, гомотетичными телу К с положительным коэффициентом гомотетии, меньшим единицы. В работе [2] введена еще одна задача комбинаторной геометрии - задача освещения. С, равно наименьшему числу освещающих пучков. В работах [3, 4] рассматриваются еще две задачи, близкие указанным. Оказалось [5], что для неограниченных выпуклых тел все четыре задачи р а з л и ч-н ы, хотя и тесно связаны. Кроме того, имеются отдельные результаты более частного характера. [3]
Рассмотрение класса всех cf - выпуклых ( или класса Я-выпуклых) множеств позволяет получить новые результаты в задачах комбинаторной геометрии. [4]
Причиной этого является то, что вопрос о наименьшем числе многогранников, меньших произвольно заданного многогранника G, подобных G и подобно G расположенных, которыми можно полностью покрыть многогранник G, до сих пор не получил решения - и это несмотря на то, что вопрос этот, тесно связанный с рядом интересных и давно стоящих геометрических проблем ( см. по этому поводу книгу: Болтянский В. Г., Гохберг И. Ц. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. [5]
Типичные для комбинаторной геометрии задачи связаны с оценкой числа фигур, входящих в удовлетворяющую условиям задачи конфигурацию. Большинство задач комбинаторной геометрии ставится для выпуклых тел, в связи с чем при решении многих из них используются свойства многогранников. Последнее стимулировало исследование комбинаторных и метрических свойств многогранников и зависимостей между ними. Это привело в начале 50 - х годов к возникновению и выдвижению на первое место нового раздела теории выпуклых многогранников - комбинаторной теории многогранников. [6]
Задачи комбинаторной геометрии отличаются очень большим разнообразием; при этом формулировки их, как правило, опираются лишь на самые простые геометрические понятия и факты и доступны любому школьнику. Решения же задач комбинаторной геометрии зачастую оказываются весьма сложными; целый ряд основных для этого раздела задач не решен и по сей день. [7]
Комбинаторные свойства ап и и, фигурирующие в рассмотренных выше задачах, разумеется, не являются единственно возможными. Напротив, свойства, встречающиеся в задачах комбинаторной геометрии, весьма разнообразны. [8]
Эта глава посвящена рассмотрению четырех тесно связанных между сабой задач комбинаторной геометрии. Стержнем главы является известная гипотеза Хадвигера [1] о том, что ограниченное выпуклое тело / ( может быть покрыто не более чем 2П телами, гомотетичными телу К с положительным коэффициентом гомотетии, меньшим единицы. В работе [2] введена еще одна задача комбинаторной геометрии - задача освещения. С, равно наименьшему числу освещающих пучков. В работах [3, 4] рассматриваются еще две задачи, близкие указанным. Оказалось [5], что для неограниченных выпуклых тел все четыре задачи р а з л и ч-н ы, хотя и тесно связаны. Кроме того, имеются отдельные результаты более частного характера. [9]
Ее основные результаты, проблематика, методы появились именно в нашем столетни. Круг задач, относящихся к современной комбинаторной геометрии, весьма широк. Однако можно указать некоторую общую схему, в рамки которой укладывается значительная часть задач комбинаторной геометрии. [10]