Cтраница 1
Пересечение подгрупп О и / состоит из одного единичного элемента. [1]
Пересечением подгрупп или вообще подмножеств называется подмножество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому иэ рассматриваемых подмножеств. [2]
Объединение и пересечение подгрупп, определенные в § 1.4, действительно удовлетворяют аксиомам структуры, причем отношением порядка является включение. [3]
Действительно, пересечение подгрупп G. Наконец, каждая - из подгрупп GI и О2 является в G нормальной подгруппой. [4]
Подгруппа D как пересечение подгруппы Т с изолированной подгруппой М изолирована в Г, а поэтому подгруппа К из Г, содержащая подгруппу D в качестве максимальной подгруппы, расщепляема. [5]
Так как в пересечениях подгруппы М со своими сопряженными инволюции не содержатся, то в группе G имеется точно It инволюций. Покажем, что во всяком смежном классе Mg имеется точно I инволюций. [6]
Для каждого а через Ва обозначим пересечение подгрупп b AJb по всем целым i. [7]
Рассмотрим С ( d), где d - инволюция, лежащая в пересечении подгрупп Z ( 7) и D. Если это пересечение не содержит инволюций, то d - произвольная инволюция из D. [8]
Подгруппы, сопряженные с U, состоят из пар ( 1, /), где / - функции, принимающие значение 1 на фиксированном аргументе. Поэтому пересечение подгрупп, сопряженных с U, есть ( 1, 1), и представление подстановками классов смежности изоморфно. [9]
Порядок Ф равен mkm, порядок U равен km-l, так что ( Ф: 1 /) йт. Подгруппы, сопряженные с U, состоят из пар ( I, f), где f - функции, принимающие значение 1 на фиксированном аргументе. Поэтому пересечение подгрупп, сопряженных с V, есть ( 1, I), н представление подстановками классов смежности изоморфно. [10]
Определим спрямляющие подгруппы и поляры. Выпуклая / - подгруппа Я / - группы G называется спрямляющей l - подгруппой, если множество G / Я линейно упорядочено. Выпуклая / - подгруппа Я / - группы G является спрямляющей тогда и только тогда, когда множество выпуклых / - подгрупп G, содержащих Я, линейно упорядочено по включению. Всякая выпуклая / - подгруппа любой / - группы является пересечением спрямляющих подгрупп. [11]
Определим спрямляющие подгруппы и поляры. Выпуклая / - подгруппа Н / - группы G называется спрямляющей l - подгруппой, если множество G / H линейно упорядочено. Выпуклая / - подгруппа Н / - группы G является спрямляющей тогда и только тогда, когда множество выпуклых / - подгрупп G, содержащих Н, линейно упорядочено по включению. Всякая выпуклая / - подгруппа любой / - группы является пересечением спрямляющих подгрупп. [12]
Еще более общей является так называемая задача о пересечении подалгебр: в примитивном классе К задана алгебра А посредством порождающих и конечного числа определяющих равенств. Автору неизвестно, можно ли задачу о пересечении связать при помощи метода Мак-Кинси с какой-либо отделимостью. Однако, пользуясь методом нашей заметки [15], легко указать алгоритм для решения задачи о пересечении подгрупп в классе нильпотентных групп любой фиксированной ступени нильпотентности. [13]
Если подгруппа D - силовская подгруппа в Ж и отлична от своего нормализатора, то противоречие получается, как и в пер - вом случае. Если же D - не силовская подгруппа М, то рассмотрим подгруппу X, состоящую из всех элементов группы G, либо перестановочных с некоторым элементом d из D, либо трансформирующих его в обратный. Так как подгруппа D изолирована в G, то С ( d) - примарная подгруппа. Подгруппа R X [ M содержит D и отлична от своего нормализатора в X. Значит, R содержится в пересечении подгруппы М с некоторой сопряженной подгруппой. [14]