Cтраница 1
Пересечение конечного числа полупространств называется выпуклым многогранником. [1]
Многогранником называется пересечение конечного числа полупространств. [2]
Многогранным множеством называется пересечение конечного числа полупространств. Ограниченное многогранное множество называется многогранником. [3]
Выпуклый конус, являющийся пересечением конечного числа полупространств, называется многогранным углом. Касательный конус выпуклой многогранной гиперповерхности в каждой точке является многогранным углом. [4]
Таким образом, Ft есть пересечение конечного числа полупространств. Следовательно, Ft есть выпуклый многогранник. [5]
Множество, которое может быть представлено как пересечение конечного числа полупространств в R, называется полиэдральным выпуклым множеством, или выпуклым полиэдром. Выпуклые полиэдры выделяются среди произвольных выпуклых множеств целым рядом замечательных свойств, что связано главным образом с тем, что они не искривлены. Эта теория играет важную роль при изучении конечных систем линейных уравнений и линейных неравенств. [6]
Из многомерной геометрии известно [7], что пересечение конечного числа полупространств, граничные гиперплоскости которых содержат начало координат, является выпуклым многогранным конусом. [7]
Доказать, что всякая плоскость аффинного пространства является пересечением конечного числа полупространств. [8]
Под n - мерным выпуклым многогранником мы понимаем произвольное ограниченное множество в Мп, задаваемое как пересечение конечного числа полупространств. Любой выпуклый многогранник ограничивается конечным числом гиперплоскостей. Таким образом, гиперплоскости, ограничивающие простой многогранник, находятся в общем положении. При этом если множество точек находится в общем положении, то получаемый многогранник называется симплициальным, так как все его грани будут симплексами. Часто бывает удобно исследовать свойства простого многогранника в терминах двойственного ему симплициального многогранника, а также симплициального разбиения сферы, задаваемого границей этого двойственного многогранника. [9]
Как известно, выпуклый многогранный конус С может быть представлен либо как неотрицательная комбинация конечного числа векторов, либо как пересечение конечного числа полупространств. [10]
Полупространством называется множество точек вида а е еЛ Да) 0), где f - непостоянная аффинно линейная функция. Многогранником называется пересечение конечного числа полупространств. [11]
Тело, являющееся пересечением конечного числа полупространств, называется выпуклым многогранником. Мы будем предполагать, что число полупространств, в пересечении которых получается данный выпуклый многогранник, минимально в том смысле, что пересечение меньшего числа этих полупространств строго содержит как часть пересечение всех данных полупространств. При этом соглашении части поверхности многогранника, лежащие в ограничивающих его гиперплоскостях, называются гранями. Каждая грань выпуклого многогранника представляет собой выпуклый многогранник в несущей его гиперплоскости. [12]
Далее индукцией формула ( 2) распространяется на односвязные области с кусочно гладкой границей, которые при помощи п непересекающихся гладких перегородок разбиваются на области, элементарные относительно всех трех координатных осей. Примером таких областей являются выпуклые многогранники, возникающие как пересечение конечного числа полупространств. [13]
Основу метода составляет тот факт, что допустимая выпуклая область может быть представлена в виде пересечения всех содержащих ее полупространств. В случае общих областей таких полупространств будет бесконечное число, многогранные же области являются пересечением конечного числа полупространств. С помощью этого метода задача выпуклого программирования заменяется последовательностью задач линейного программирования. [14]
Пусть имеется конечное число точек ( векторов) пространства Rn. Их выпуклая оболочка называется политопом. Классический результат Мин-ковского и Вейля утверждает, что каждый политоп является пересечением конечного числа полупространств. На алгебраическом языке это звучит так: всякий политоп можно определить как множество точек, удовлетворяющих некоторой системе линейных неравенств. Зная множество определяющих точек и систему линейных неравенств, мы имеем тем самым хорошую характеризацию политопа: если мы хотим показать, что некоторый вектор принадлежит политопу, то достаточно представить этот вектор в виде выпуклой комбинации определяющих точек; если же мы желаем доказать, что данный вектор не принадлежит политопу, то достаточно найти определяющее неравенство, которому этот вектор не удовлетворяет. Более аккуратно все это делается так же, как было указано выше для случая конусов. [15]