Cтраница 3
Итак, механическое движение есть простейшая форма движения, представляющая изменение положения ( места) материального тела в пространстве с течением времени. Изучение механических движений является первой, наиболее простой и логически естественной задачей науки. Теоретическая механика есть наука об общих законах этой простейшей формы движения реальных тел, ставящая своей главной задачей познание количественных закономерностей наблюдаемых в природе и конструируемых человеком механических движений. [31]
Несмотря на перечисленные успехи, отметим, что список доказанных нижних оценок в задачах меньшей сложности шокирует. Фактически неизвестны нелинейные нижние оценки времени для общего вида вычислительных моделей ни для какой естественной задачи класса NP ( см. разд. Однако для нижних оценок памяти мы даже не знаем, как доказывать существование WP-задач, не решаемых с памятью O ( logn) для off-line машин Тьюринга ( см. разд. [32]
В настоящей главе показано, что решение возникающих при этом проблем во многом определяется степенью централизации управления компонентами системы в ходе ее функционирования. Поскольку целью книги является предложение и исследование наименее централизованного варианта организации систем - локальной организации, то естественная задача этой главы состоит в том, чтобы показать то место, которое занимают модели локальной организации в иерархии других подходов к математическому описанию моделей систем, таких, например, как общая теория систем или теория игр и исследование операций ( см. разд. [33]
Аппелем, в теории ортогональных многочленов двух переменных вводится понятие допустимого дифференциального оператора. Поскольку оператор D ( u) однозначно определяет и область ортогональности ( 7, и весовую функцию h ( x y) в ней, то возникает естественная задача нахождения всех таких допустимых операторов, для которых фундаментальные многочлены являются ортогональными или хотя бы биортогональными. Такие многочлены можно рассматривать как обобщение классических ортогональных многочленов Чебышева-Эрмита, Чебышева-Лагерра и общих многочленов Якоби на случай двух переменных. [34]
VII мы применяем когомологический метод к изучению групп преобразований на компактных однородных пространствах. Благодаря тому что компактные однородные пространства включают в себя большое разнообразие топологических типов, а изучение групп преобразований на них только начинается, в этой области имеется изобилие естественных задач. Однако до сих пор было успешно разобрано только небольшое число пробных случаев и многое еще не опубликовано. Поэтому результаты в этой главе довольно неполные, и их нужно рассматривать лишь как первые пробные случаи, которые служат указанием на существование в этой области интересных задач и глубоких результатов. В работе, которая скоро будет опубликована, я надеюсь дать более систематическое изложение применений когомологического метода к изучению групп преобразований на компактных однородных пространствах. [35]
Далее, казалось бы, совсем просто: надо рассмотреть десять вариантов и выбрать нужный. Но десять вариантов, полученных при переводе задачи на первый уровень, могут качественно отличаться от десяти вариантов, необходимых для решения задачи, которая с самого начала была задачей первого уровня. У естественной задачи первого уровня все варианты решения понятны изобретателю, они обычно прямо относятся к его специальности, не отпугивают своей сложностью. Искусственная задача первого уровня, полученная из задачи, скажем, четвертого уровня, может иметь решения дикие или выходящие за пределы знаний изобретателя. Предположим, анализ задачи отсек все пустые варианты, оставив только одну возможность: Задачу удастся решить, если вращающаяся в сосуде жидкость будет прижиматься не к стенкам сосуда, а к его оси. Известно, что на вращающуюся жидкость действуют центробежные силы, направленные к стенкам сосуда. Скорее всего, изобретатель отбросит полученный вариант как явно противоречащий физике... Между тем существуют жидкости, в которых - вопреки обычным представлениям - при вращении возникают центростремительные силы. [36]
Пространство элементарных событий 1 часто имеет континуальную природу. Это может быть вещественная прямая или отрезок, Rn либо его подмножество. За кадром здесь находятся вполне естественные задачи. [37]
В тех задачах механики, где приходится иметь дело с качественными изменениями форм движения и наблюдать переходы от простейшей механической формы движения к более сложным ( например, тепловым в аэродинамике больших скоростей, в гидромеханике вязкой жидкости), нельзя достигнуть удовлетворительных результатов, исследуя только количественную сторону механического движения. Более сложные формы движения материи ( теплота, свет, электричество) содержат в себе простое механическое движение, но полностью им не объясняются и не исчерпываются. Изучение механических движений является пер-вой, наиболее простой и логически естественной задачей современной науки. [38]
Эти исследования Галилея имеют принципиальное значение, поскольку они положили начало новой научной дисциплине - теории ошибок наблюдений. Это тем более так, что теория случайных ошибок наблюдений в настоящее время рассматривается в качестве естественной задачи математической статистики. [39]
Присоединение к заданию характеристической функции множества допустимых дележей, т.е. ее превращение в кооперативную игру, можно рассматривать как своего рода оптимальное решение задачи, которая описывается характеристической функцией. Это значит, что характеристическая функция бескоалиционной игры находит в соответствующей ей кооперативной игре некоторое свое оптимизационное уточнение. Однако множество всех дележей, очевидно, оказывается при этом все еще недостаточно точным решением, и возникает естественная задача указать в качестве такого оптимального решения некоторое меньшее множество дележей, а в идеале - единственный дележ. [40]
В силу теоремы Монтгомери - Самельсона - Яна о главных типах орбит [ Мб ] главные орбиты расположены всюду плотно, и поэтому главный тип орбит представляет собой геометрическую характеристику важнейшего значения. С другой стороны, для пространств заданного специального вида возможности для главных орбит обычно довольно ограничены. Поэтому при изучении топологических действий данной компактной группы Ли на пространствах определенного типа ( например, на ациклических когомологических многообразиях, которые мы рассматриваем в этой главе) одной из естественных задач первостепенной важности является классификация главных типов орбит относительно всех топологических G-дей-ствий на пространствах данного типа. В этом параграфе мы получим классификацию главных типов орбит для топологических действий простых компактных связных групп Ли на ациклических многообразиях. [41]
Ведь при удалении сква - вой батареи от ее радиуса R &. Кроме того, большое количество нефти, оставшееся в залежи после обводнения приконтурной кольцевой батареи, пришлось бы выбирать внутренними скважинами. Возникает естественная задача о нахождении наивыгоднейшего числа скважин в каждой батарее, о наивыгоднейших радиусах батарей и числе батарей, с помощью которых наиболее рационально и рентабельно можно было бы разработать залежь нефти. [42]
Создание модели проблемы - отнюдь не простое дело. От умения и интуиции системного аналиста, создающего модель, зависит его видение проблемы, отраженное в описании объектов и способов их сочленения. Способы сочленения объектов могут быть описаны с помощью имеющихся средств языка, для чего нужен особый стиль их применения. Рассмотрим в качестве примера все те же электрические цепи. Модель, рассмотренная в разд. Можно указать естественные задачи, которые неразрешимы на ней при определении семантики последовательным способом. Например, если заданы все значения сопротивлений и потенциалы в точках Т1К, Т4Н, то в принципе можно найти все остальные значения, но рассмотренная модель этого сделать не позволит. [43]
Я не ответил на вопрос, почему скобки Пуассона важны в бесконечномерном случае. Это не так уж сложно. В конечномерном случае задать матрицу или задать обратную матрицу - это примерно одно и то же. Естественно, что тот из них проще и появляется сразу, который обычно в локальных фундаментальных задачах появляется дифференциальным оператором, локальным. Поэтому естественно, что наиболее фундаментальной для подавляющего большинства естественных задач математической и теоретической физики является именно пуассонова, а не симплектическая бесконечномерная геометрия. Симплектическая геометрия связана уже с нахождением обратного оператора. [44]
При изучении групп преобразований евклидовы пространства, шары, сферы и проективные пространства являются наилучшими пробными пространствами. Это обусловлено идеальной комбинацией большого запаса линейных действий и простоты топологического строения. Большая часть глубоких результатов теории топологических групп преобразований сосредоточена пока вокруг изучения перечисленных выше пробных пространств. Вообще говоря, идеальное сочетание простого топологического строения и большого Запаса линейных действий на пробных пространствах очень полезно вначале для выяснения некоторых основных закономерностей. V и VI, относящиеся к таким пробным пространствам, привели нас как к пониманию особой важности элементарных абелевых групп во всей теории топологических групп преобразований, так и к формулировке важных теорем о расщеплении в гл. Однако мц сузим перспективу нежелательным образом, если будем некритически настаивать на когомологической простоте пробных пространств. В этой главе мы начинаем расширять совокупность пробных пространств рассматривая группы преобразований на компактных однородных пространствах. Так как компактные однородные пространства покрывают обширную область топологических типов, но все же допускают большое разнообразие естественных действий, то они особенно подходят для изучения групп преобразований. Однако, строго говоря, систематическое изучение групп преобразований на компактных однородных пространствах еще не началось. По этой причине те немногочисленные простые результаты, которые мы изложим в этой главе, находятся в довольно неудовлетворительной форме. На самом деле их следует считать не более чем предварительным указанием на обилие интересных естественных задач в этой области. [45]