Cтраница 1
Группа Пикара позволяет определить важные дополнительные структуры на множестве решений некоторых диофантовых уравнений. Так, если X - гладкая проективная кривая над полем К, то группа Pic X классов дивизоров нулевой степени имеет каноническую структуру множества геометрических точек некоторого проективного группового / ( - многообразия Jx со значениями в К. [1]
Ему соответствует подгруппа G группы Пикара SL ( 2, Z ( /)) с / г -) - 2 параболическими образующими. [2]
Нижняя стрелка переводит каждый элемент группы Пикара в ассоциированный с ним характер и является изоморфизмом. [3]
Группа G является подгруппой конечного индекса группы Пикара, так как it ata. [4]
Перечисленные результаты получаются путем комбинирования геометрических соображений с детальным исследованием целочисленной квадратичной формы, определяемой в группе Пикара индексом пересечения. Последний вопрос относится к теории целочисленных квадратичных форм. В качестве применения полученных здесь результатов мы предлагаем значительно более простое, чем в нашей работе [11], доказательство того, что на поверхности типа КЗ не существует ненулевых регулярных векторных полей. [5]
В работе [1] Артин ввел важный инвариант суперсингулярной поверхности КЗ: дискриминант квадратичной формы, определенной индексом пересечения в группе Пикара. [6]
К) так, что при этом сохраняется свойство (2.26), причем класс эквивалентности А0 зависит только от класса D в группе Пикара Pic X, функция ho не меняется при расширении основного поля К. [7]
При этом группу G называют разрывной ( клейновой, если GcMob ( n)) группой на сфере S, если существует непустое открытое множество XcS, на котором она действует разрывно. Классический пример этого дает группа Пикара GcM6b ( 2), состоящая из всех дробно-линейных преобразований w ( г) ( аг b) / ( cz а) с це лочис лен ными комплексными коэффициен - тами. Очевидно, что эта группа дискретна. Однако ни в каком открытом подмножестве плоскости она не действует разрывно; образы любой точки плоскости плотны на ней. [8]
Ликара в узком смысле Pic0 ( l / / D) тора V / D. В этой главе мы не будем, однако, вводить полной группы Пикара, ограничиваясь рассмотрением ее связной компоненты. Поэтому мы будем называть Pic0 просто группой Пикара. [9]
Основным инвариантом такой поверхности является ее группа классов дивизоров, определенных над алгебраическим замыканием поля К, то есть группа Пикара Pic V. Этот инвариант обладает несколькими структурами; это свободная абелева группа конечного ранга, решетка относительно скалярного умножения, определенного индексом пересечения дивизоров, и-модуль относительно действия группы Галуа GK. K ( V), группа Pic V, вообще говоря, меняется, хотя это изменение можно проследить. Однако группа когомо-логий Галуа Я ( 0к, Pic V) является конечной группой и би-рациональным инвариантом поверхности. [10]
Ликара в узком смысле Pic0 ( l / / D) тора V / D. В этой главе мы не будем, однако, вводить полной группы Пикара, ограничиваясь рассмотрением ее связной компоненты. Поэтому мы будем называть Pic0 просто группой Пикара. [11]
Ему соответствует подгруппа G группы Пикара SL ( 2, Z ( /)) с / г -) - 2 параболическими образующими. В результате всех таких HNN-расширений получаем неизоморфные подгруппы группы Пикара, униформизирующие внешности различных зацеплений с одним и тем же гиперболическим объемом. Первое из них - боро-меевы кольца ( см. пример 2.4), а два других получены из него скручиванием диска, натянутого на компоненту зацепления. [12]