Cтраница 1
Бохер [90], 274 - 275), и, основываясь на результатах Вейерштрасса по теории элементарных делителей, канонические формы gij и aij всегда можно определить, и притом неоднозначно. Если же ограничиваться вещественными составляющими gij и ai - и коэффициентами допустимых линейных преобразований, то эти пары матриц могут быть не эквивалентными, хотя бы они и имели одинаковые элементарные делители. В дальнейшем нам понадобится приведение пары тензоров к каноническому виду именно на вещественном пути. [1]
Есть русский перевод: Бохер, Введение в высшую алгебру. [2]
Относительно работ Биркгофа, Буцицкого, а также относительно библиографии см. Бохер [5], стр. [3]
В отсутствие внутренних скачков плотности теория Штурма - Лиувилля, обобщенная Бохером [3], гарантирует существование собственных значений и2 независимо от того, свободна или нет верхняя поверхность. Действительно, следующая теорема Штурма не только устанавливает это существование, но также дает важную информацию о собственных функциях ( см. [3], стр. [4]
Относительно вопросов, рассматриваемых в § 1, 2, 3 этой главы, см. Бохер [2], гл. [5]
Подробное изложение исследований Штурма и последовательное развитие теории уравнений второго порядка можно найти в работе Бохера [1], к которой мы и отсылаем читателя; здесь же, ради краткости, будут изложены лишь важнейшие моменты теории. [6]
Что касается дальнейшей литературы по этому предмету, то мы ограничимся указанием на лекции Клейна, прочитанные в зимнем семестре в 1889 / 90 г. о функциях Ламэ, а также на премированную работу Бохера, Геттищ-ен 1891 г. Там, наряду с точными ссылками, имеется вся теория конфокальных циклид со всеми специальными случаями. [7]
Штурма ( 13), ( 22), ( 23) таких, что соответствующая собственному значению X, собственная функция у ( х, X) имеет ровно v нулей в ( а, Ь) ( см. Бохер [2], чстр. [8]
Очевидно, что если производная р везде положительна и р / PU. Штурма - Бохера, следуют немедленно из этой теоремы и рассуждений предыдущего пункта, если просто положить К - с-2. Каждому собственному значению с2 при постоянном k2 соответствует, конечно, собственное значение со2; следовательно, нет необходимости обсуждать вопрос о существовании собственных значений со2 отдельно. [9]
Если производная р отрицательна всюду, где плотность р непрерывна, и на всех скачках плотности ри р г, то, как можно показать ( см. [4], стр. Та часть теоремы Штурма - Бохера, которая связывает индексы собственных значений с нулями собственных функций, остается справедливой, даже если р имеет разрывы Это можно показать следующим способом. Пусть сначала верхняя граница фиксирована. Если f ( 0) 0, то f ( z) убывает с ростом z и мы имеем тот же результат. Известно, что это значение KQ существует ( см. [4], стр. [10]
При неопределенном gtj такая теорема не имеет места. Причина этого кроется в том, что элементарные делители - матрицы А ( atj - kgij) могут быть не простыми, а корни соответствующего характеристического уравнения - комплексными. Бохер [100], 274 - 275), и, основываясь на результатах Вейерштрасса по теории элементарных делителей, канонические формы gtj - и atj - всегда можно определить, и притом неоднозначно. В дальнейшем нам понадобится приведение пары тензоров к каноническому виду именно на вещественном пути. [11]
Но двойной нуль для f ( z) при 2 za означал бы, что f ( z) тождественно равна нулю всюду, и поэтому первый случай не может иметь места. Если бы был возможен второй случай, то f ( d) имела бы двойной нуль при К Km [ иначе f ( d) меняла бы знак при переходе через Кт ], а двойные собственные значения невозможны. Аналогично если Кп - означает / г-е собственное значение К для случая фиксированной верхней границы, то при изменении К от Лп-1 до Кп величина f ( d) / f ( d) убывает от оо до - оо, так что условие ( 20) выполняется для некоторого К, лежащего между Kn-i и Кп. Кроме того, поскольку нули собственной функции не могут ни появляться, ни исчезать внутри интервала [ 0, d) и каждый раз при прохождении Km число внутренних нулей возрастает на единицу, то часть теоремы Штурма - Бохера, относящаяся к индексам собственных значений и внутренним нулям собственных функций, остается справедлива и тогда, когда имеются внутренние скачки средней плотности р, включая свободную поверхность. [12]