Cтраница 1
Плоскости брэгговского отражения обозначены на рис. 18.3 соответствующими им векторами обратной решетки. Например, имеется вектор обратной решетки [220] 2л / а, где а - ребро куба на рис. 3.1. Плоскость, делящая этот вектор пополам, называется ( 220) - плоскостью. Плоскость ( Ш) изображенная на рис. 16 9, здесь не показана для упрощения рисунка. Косые линии на рис. 18.3, а изображают ребра многогранника, являющиеся пересечениями плоскостей типа ( 202) или ( 022) со всеми возможными комбинациями знаков компонент. [1]
Такие плоскости, называемые плоскостями брэгговского отражения, для простой кубической решетки изображены на рис. 16.4. Обычно явление дифракции наблюдается, если в кристалл давне приходят волны разных частот, например рентгеновские лучи. Большинство из них просто проходит через кристалл, не испытывая дифракции, так как они не удовлетворяют условию Брэята. [2]
Относительные сдвиги электронных уровней приводят к тому, что при получении энергии основного состояния происходит некоторое перераспределение электронов по уровням, Например, уровни внутри зоны Бриллюэна понижают свою-энергию, а уровни вне зоны Бриллюэна повышают ее. Поэтому вблизи плоскостей брэгговского отражения поверхность Ферми искажается так, как это показано на рис. 16 9, Можно показать ( Харрисон [58], стр. [3]
Если при этом он не попадает в плоскость брэгговского отражения, то и дифракции он не испытывает. Так как большинство электронов оказывается нечувствительным к присутствию кристаллической решетки, то электропроводность с хорошей-точностью описывается моделью свободных электронов. [4]
Псевдопотенциал решетки, вне зависимости от того, мал он или велик, может приводить к дифракции электронов, изменяющей форму электронных юрбит в магнитном поле. Это изменение сопровождается некоторой перестройкой сферы Ферми, которая в этом случае называется поверхностью Ферми для почти свободных электронов. При увеличении псевдопотенцяала изменение поверхностей Ферми и энергетических зон вблизи плоскостей брэгговского отражения становятся еще заметнее. Псевдопотенциал изменяет и распределение зарядов, которое в свою очередь приводит к экранированию псевдопотенциала. [5]
Для свободных электронов такое построение является точным. Но в реальных кристаллах оно дает только приближенное описание электронных орбит. Это объясняется нашим предположением о том, что псевдопотенциал настолько слаб, что электроны с волновыми векторами, не лежащими точно в плоскостях брэгговского отражения, его просто не чувствуют. В этом случае псевдопотенциал не оказывает почти никакого влияния на форму электронных орбит. Орбиты определяются только геометрией расположения плоскостей брэгговского отражения. [6]
Рассмотрим теперь явления, обусловленные конечной величиной псевдопотенциала. Для примера возьмем кремний и рассмотрим свойства газа свободных электронов в кристалле, где на каждый ион приходится четыре электрона. Теперь медленно включим псевдопотенциал. На каждой из плоскостей брэгговского отражения происходит дифракция электронов. По мере роста псевдопотенциала сфера Ферми все более искажается и некоторые из участков поверхности Ферми даже сливаются с плоскостями брэгговского отражения. [7]
Относительные сдвиги электронных уровней приводят к тому, что при получении энергии основного состояния происходит некоторое перераспределение электронов по уровням, Например, уровни внутри зоны Бриллюэна понижают свою-энергию, а уровни вне зоны Бриллюэна повышают ее. Поэтому вблизи плоскостей брэгговского отражения поверхность Ферми искажается так, как это показано на рис. 16 9, Можно показать ( Харрисон [58], стр. Результат не кажется очевидным, так как на первый взгляд выражение для энергии ( 17.1) расходится при k вблизи плоскостей брэгговского отражения. Это именно те плоскости, на которых обращаются в нуль знаменатели. То, что искажением поверхности Ферми действительно можно пренебречь, следует из правильного выражения для энергии во втором порядке теории возмущений, которое получается вычислением главного значения интеграла при интегрировании по направлению, перпендикулярному поверхности Ферми. [8]
Для свободных электронов такое построение является точным. Но в реальных кристаллах оно дает только приближенное описание электронных орбит. Это объясняется нашим предположением о том, что псевдопотенциал настолько слаб, что электроны с волновыми векторами, не лежащими точно в плоскостях брэгговского отражения, его просто не чувствуют. В этом случае псевдопотенциал не оказывает почти никакого влияния на форму электронных орбит. Орбиты определяются только геометрией расположения плоскостей брэгговского отражения. [9]
Рассмотрим теперь явления, обусловленные конечной величиной псевдопотенциала. Для примера возьмем кремний и рассмотрим свойства газа свободных электронов в кристалле, где на каждый ион приходится четыре электрона. Теперь медленно включим псевдопотенциал. На каждой из плоскостей брэгговского отражения происходит дифракция электронов. По мере роста псевдопотенциала сфера Ферми все более искажается и некоторые из участков поверхности Ферми даже сливаются с плоскостями брэгговского отражения. [10]
Нам известно, что если псевдопотенциал достаточно велик, то от поверхности Ферми ничего не остается: в полупроводниках их поэтому и нет. Из рис. 18 3, а видно, что при этом происходит слияние кусков поверхности Ферми с наклонными и вертикальными плоскостями на этом рисунке. Горизонтальные плоскости и неизображенные плоскости ( 111) роли не играют. Они и образуют зону Джонса ( Мотт и Джонс [63, 131], стр. Объем зоны Джонса достаточен, чтобы разместить четыре электрона в расчете на атом. Естественно предположить, что для нашего рассмотрения существенны только те плоскости брэгговского отражения, которые ограничивают зону Джонса. Остальные плоскости в этой полуколичественной теории просто не принимаются во внимание. [11]
Использование величины - ИРщ в качестве полной энергии в расчете на один электрон может вызывать некоторые сомнения. Обсуждение разных вкладов в энергию позволяет понять еще один аспект рассматриваемой в этой главе проблемы, а именно необходимость считать псевдопотенциал самой большой величиной. В теории простых металлов энергия в нулевом приближении является кинетической энергией свободных электронов. Эта энергия не изменяется, если кристалл деформировать при постоянном объеме. Если применять теорию к ковалентным кристаллам, то суммирование приходится выполнять не по сфере, а по зоне Джонса. Однако общий подход с использованием зон Джонса не противоречит замене зоны Джонса сферой. Различие проявляется только тогда, когда мы прикладываем деформацию сдвига. При наличии деформации зона Джонса деформи руется, и сфера превращается в эллипсоид. В металле, когда плоскости брэгговского отражения проходят через перфорированную сферу Ферми, соответствующего изменения энергии нулевого приближения нет. В ковалентных кристаллах такое изменение энергии имеется. [12]