Cтраница 1
Плоскость Римана ( эллиптическая плоскость) - замкнутая конечная односторонняя поверхность Э2, гомеоморфная листу Мебиуса, граница к-рого заклеена кругом. Прямая не разделяет плоскость на две области. [1]
Короче говоря, свойства расположения элементов на плоскости Римана и в пространстве Римана совпадают со свойствами расположения элементов на проективной плоскости и в проективном пространстве. Римана и в пространстве Римана столь же свободные, как на плоскости и в пространстве Евклида. Римана в малом совпадают с метрич. Точнее: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная нек-рой части сферы; радиус R этой сферы - один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Свойства плоскости Римана в целом отличаются от свойств целой сферы; так, напр. Римана две прямые пересекаются в одной точке; на сфере два больших круга, к-рые играют роль прямых в еферич. Римана в малом совпадают с метрич. Точнее: для любой точки пространства Римана существует содержащая эту точку часть пространства, изометричная нек-рой части трехмерной сферы. Радиус этой сферы совпадает с величиной Я, к-рая упоминалась выше. [2]
Выше мы разобрали случаи автоморфных функций, инвариантных по отношению к некоторой прерывной группе движений на плоскости Римана, причем там были найдены все случаи групп собственно прерывных. Мы разобрали также случаи автоморфных функций, инвариантных по отношению к некоторой прерывной группе движений на плоскости Евклида, причем в этом случае наиболее важный класс функций, как это было выяснено, представляют собой эллиптические функции, к которым можно было свести и соответствующие случаи функций Шварца. [3]
В этом случае автоморфные функции являются аналогом эллиптических функций на плоскости Лобачевского совершенно так же, как полиэдрические функции представляют собой аналог эллиптических функций на плоскости Римана. [4]
Всякие две прямые на плоскости обладают общим перпендикуляром; его длина равна аг, где а - угол между прямыми, г - радиус кривизны плоскости Римана. [5]
Разобранные в предыдущей главе автоморфные функции, как было показано, инвариантны по отношению к подстановкам, которые образуют прерывную группу движений евклидовой плоскости или сферы. При этом сферу можно рассматривать как изображение плоскости Римана при условии, что две диаметрально противоположные точки сферы представляют собой одну точку плоскости Римана и прямыми в геометрии Римана являются геодезические линии сферы, - то-есть ее большие окружности. [6]
Разобранные в предыдущей главе автоморфные функции, как было показано, инвариантны по отношению к подстановкам, которые образуют прерывную группу движений евклидовой плоскости или сферы. При этом сферу можно рассматривать как изображение плоскости Римана при условии, что две диаметрально противоположные точки сферы представляют собой одну точку плоскости Римана и прямыми в геометрии Римана являются геодезические линии сферы, - то-есть ее большие окружности. [7]
В качестве модели планиметрии Римана может служить сфера, если считать каждую пару диаметрально противоположных ее точек за одну точку. Итак, плоскость Римана представлена евклидовой сферой. [8]
Короче говоря, свойства расположения элементов на плоскости Римана и в пространстве Римана совпадают со свойствами расположения элементов на проективной плоскости и в проективном пространстве. Римана и в пространстве Римана столь же свободные, как на плоскости и в пространстве Евклида. Римана в малом совпадают с метрич. Точнее: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная нек-рой части сферы; радиус R этой сферы - один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Свойства плоскости Римана в целом отличаются от свойств целой сферы; так, напр. Римана две прямые пересекаются в одной точке; на сфере два больших круга, к-рые играют роль прямых в еферич. Римана в малом совпадают с метрич. Точнее: для любой точки пространства Римана существует содержащая эту точку часть пространства, изометричная нек-рой части трехмерной сферы. Радиус этой сферы совпадает с величиной Я, к-рая упоминалась выше. [9]
Короче говоря, свойства расположения элементов на плоскости Римана и в пространстве Римана совпадают со свойствами расположения элементов на проективной плоскости и в проективном пространстве. Римана и в пространстве Римана столь же свободные, как на плоскости и в пространстве Евклида. Римана в малом совпадают с метрич. Точнее: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная нек-рой части сферы; радиус R этой сферы - один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Свойства плоскости Римана в целом отличаются от свойств целой сферы; так, напр. Римана две прямые пересекаются в одной точке; на сфере два больших круга, к-рые играют роль прямых в еферич. Римана в малом совпадают с метрич. Точнее: для любой точки пространства Римана существует содержащая эту точку часть пространства, изометричная нек-рой части трехмерной сферы. Радиус этой сферы совпадает с величиной Я, к-рая упоминалась выше. [10]