Cтраница 2
Пусть контур бесконечно мал. Функция ip, a priori, может зависеть от расстояния г между точкой М и элементарной поверхностью, ограниченной контуром; от угла ф между прямой, соединяющей точку М с центром тяжести элемента, и вектором площади элемента поверхности; от площади этого элемента и, наконец, от его вида. Другими словами, р может зависеть от г, от ф, от телесного угла и от формы конуса с точкой М в качестве вершины и контуром в качестве направляющей. [16]
Пусть контур бесконечно мал. Функция ( р, a priori, может зависеть от расстояния г между точкой М и элементарной поверхностью, ограниченной контуром; от угла ф между прямой, соединяющей точку М с центром тяжести элемента, и вектором площади элемента поверхности; от площади этого элемента и, наконец, от его вида. Другими словами, ( р может зависеть от г, от - 0, от телесного угла и от формы конуса с точкой М в качестве вершины и контуром в качестве направляющей. [17]
При смещении двух вязких жидкостей площадь поверхности раздела между ними увеличивается. Бротман и др. [17], а позже Спенсер и Уайли [3] установили, что площадь поверхности раздела является количественной мерой процесса смешения. В настоящем разделе показано влияние суммарной деформации вязкой жидкости на величину площади элемента поверхности раздела. [18]
Рассмотрим некоторый объем VQ пространства. Количество ( масса) жидкости в этом объеме есть J pdV, где р есть плотность жидкости, а интегрирование производится по объему VQ. Через элемент df поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем, в единицу времени протекает количество pv df жидкости; вектор df по абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по нормали к ней. [19]
Интеграл по поверхности ( двухмерной) в 4-пространстве. Как известно, в трехмерном пространстве проекции площади параллелограмма, построенного на двух векторах А и В, на координатные плоскости - а - д равны соответственно АаВ - А. В аналогично в 4-пространстве проекции площади параллелограмма, построенного на двух 4-векторах Л - и Bk, на 6 координатных плоскостей XiXk определяются антисимметричным тензором AtBk - AkBt. В частности, бесконечно малый элемент поверхности определяется антисимметричным тензором 2-го ранга dfik, компоненты которого равны проекциям площади элемента поверхности на координатные плоскости. [20]
Каждая точка о 6 Q, представляющая начальное состояние в момент / 0, движется, согласно уравнениям движения, вдоль некоторой траектории; это движение описывает эволюцию системы. Знаменитая теорема Лиувилля утверждает, что при этом движении мера Лебега X лебеговских множеств А остается инвариантной. Говоря более точно, за единицу времени фазовое пространство подвергается взаимно однозначному отображению о 7 ш, при котором А 7 Л ЯЛ. Отсюда произошел термин эргодиче-ский, восходящий к слову ergos, означающему энергию. Таким образом, инвариантная мера л определяется формулой - cfcr / grad Я, где da - площадь элемента поверхности, а берется в точке этого элемента. [21]