Cтраница 1
Поверхности нулевой гауссовой кривизны ( цилиндрические, конические) являются развертывающимися поверхностями, поэтому их метрика тождественна с метрикой на плоскости. [1]
Таким образом, поверхности нулевой гауссовой кривизны являются торсами, К торсам принадлежат цилиндрические ( 7 const) и конические ( ra - const) поверхности. [2]
Пусть F - поверхность нулевой гауссовой кривизны, / С 0, Тогда формула ( 3.54 а), очевидно, не имеет места. [3]
Следовательно, на всякой поверхности нулевой гауссовой кривизны ( и только на ней) тензор Римана - Кристофеля тождественно обращается в нуль. [4]
Таким образом, на поверхностях нулевой гауссовой кривизны ( / С 0) ( и только на них) операции ковариантных производных обладают свойством коммутативности. [5]
А именно, на всякой поверхности нулевой гауссовой кривизны существует декартова система координат. [6]
Доказать это предложение можно еще, используя тот факт, что поверхности нулевой гауссовой кривизны развертываются на плоскость. [7]
Поверхности, у которых все точки эллиптические, называются поверхностями положительной гауссовой кривизны ( сфера, эллипсоид); поверхности, у которых все точки параболические, - поверхностями нулевой гауссовой кривизны ( цилиндр, конус), и поверхности, имеющие только гиперболические точки, - поверхностями отрицательной гауссовой кривизны. [8]
Если поверхность выпукло-вогнутая, то знаки кривизн к и кг разные ( Г0) и такие поверхности называются поверхностями отрицательной гауссовой кривизны. Такие поверхности называются поверхностями нулевой гауссовой кривизны. На рис. 9.3 показаны примеры поверхностей положительной ( рис. 9.3, а), отрицательной ( рис. 9.3, б) и нулевой ( рис. 9.3, в) гауссовых кривизн. [9]
В частности, при т 3 получим известную теорему из планиметрии о сумме углов треугольника. Таким образом, для поверхностей нулевой гауссовой кривизны эта теорема планиметрии остается в силе. [10]
Последняя формула выражает декартову метрику прастранства в том случае, когда S-плоскость. В этом праявляется тот факт, что поверхности нулевой гауссовой кривизны ( и только они) развертываются на плоскость. Поэтому естественно считать все простые пифагоровы расширения торсов эквивалентными. [11]
Если поверхность выпукло-вогнутая, то знаки кривизн А. & z разные ( Г 0) и такие поверхности называются поверхностями отрицательной гауссовой кривизны. Такие поверхности называются поверхностями нулевой гауссовой кривизны. На рис. 9.3 показаны примеры поверхностей положительной ( рис. 9.3, а), отрицательной ( рис. 9.3, б) и нулевой ( рис. 9.3, е) гауссовых кривизн. [12]
Таким образом, линейчатая поверхность Ф описывается прямой k при наматывании плоскости 2 на направляющий цилиндр. Другое семейство линий кривизны совладает с семейством параллелей, так как последние являются ортогональными траекториями к меридианам. Полученная поверхность Ф является поверхностью нулевой гауссовой кривизны, и, следовательно, торсовой поверхностью. [13]
С ( соответственно R lVK - При изгибаниях поверхности не изменяется гауссова кривизна / С как величина, выражающаяся исключительно при помощи коэффициентов метрической квадратичной формы. Следовательно, поверхность можно получить из другой поверхности посредством изгибания лишь в том случае, когда у них одинаковая гауссова кривизна. Необходимость этого условия очевидна. Доказательство же достаточности в общем случае приводит к нелинейной задаче уравнений в частных производных. В частности, мы уже доказали, что только поверхности нулевой гауссовой кривизны изгибаются ( развертываются) на плоскость. [14]