Cтраница 1
Замкнутая ориентируемая поверхность рода g, обозначаемая через Tg, является конечнократ-ным накрытием над Т2, следовательно, фундаментальная группа ni ( Ta) представляет собой подгруппу в ni ( T2), и потому она тоже действует на Я2 свободно, а факторпространство по ее действию гомеоморфно поверхности Tg. На языке, объясненном во введении к книге, это означает, что любая замкнутая ориентируемая поверхность рода 2 допускает геометрическую структуру по образцу Я2, или, короче, допускает гиперболическую структуру. Так как любая замкнутая поверхность с отрицательной эйлеровой характеристикой накрывает эту последнюю, то мы заключаем, что, как и утверждалось во введении, всякая замкнутая поверхность с отрицательной эйлеровой характеристикой допускает гиперболическую структуру. Тем самым получено доказательство приведенного во введении утверждения о том, что каждая замкнутая поверхность допускает геометрическую структуру. [1]
Замкнутая ориентируемая поверхность Sp рода р имеет стандартную математическую модель - это поверхность, полученная в результате присоединения р ручек к сфере. При исследовании проблемы раскраски клеточное разбиение поверхности Sp называют картой на 5Р, а каждую 2-клетку - областью карты. Две области будем называть соседними, если они имеют в разбиении хотя бы одну общую 1 -клетку. [2]
В 70 - х годах С.Х. Арансон и В.З. Гринес исследовали асимптотическое поведение нетривиально рекуррентных полутраекторий потоков на замкнутых ориентируемых поверхностях рода д 2 ( напомним, что нетривиально рекуррентной полутраекторией называется незамкнутая полутраектория, лежащая в своем предельном множестве. В основе этих исследований лежало доказательство существования иррационального асимптотического направления у поднятия нетривиально рекуррентной полутраектории. С использованием асимптотических направлений в работе [18] был впервые построен геодезический каркас нетривиального минимального множества ( т.е. специальная геодезическая ламинация, состоящая из геодезических с теми же асимптотическими направлениями, что и траектории минимального множества) и приведена реализация минимального множества в виде геодезического каркаса. Эта конструкция была обобщена Левиттом [77, 78] на слоения для получения классификации в смысле Уайтхеда. [3]
Значит, отображения, топологически эквивалентные тем, которые определяются аналитическими функциями, являются непрерывными отображениями самых общих ориентируемых поверхностей в замкнутую ориентируемую поверхность рода нуль. Наша задача теперь состоит в том, чтобы топологически охарактеризовать эти отображения, а через них - сами аналитические функции. [4]
Обозначим через N ( 4), Na () и Nc () максимальные порядки произвольной группы, абелевой группы и циклической группы соответственно симметрии замкнутой ориентируемой поверхности рода ч, сохраняющих ориентацию. [5]
Гипотеза Пуанкаре верна в том и только том случае, если для каждого g 2 всякий эпиморфизм Ф: n ( Tg) - - - Fgy ( Fg ( Tg - замкнутая ориентируемая поверхность рода g) существенно пропускается через свободное произведение. [6]
Условие ориентируемости налагает определенные ограничения на топологические свойства базисных множеств и топологическую природу многообразия. Так, число ориентируемых одномерных базисных множеств на замкнутой ориентируемой поверхности рода р не превосходит р [43], причем эта оценка точная. [7]
Замкнутая ориентируемая поверхность рода g, обозначаемая через Tg, является конечнократ-ным накрытием над Т2, следовательно, фундаментальная группа ni ( Ta) представляет собой подгруппу в ni ( T2), и потому она тоже действует на Я2 свободно, а факторпространство по ее действию гомеоморфно поверхности Tg. На языке, объясненном во введении к книге, это означает, что любая замкнутая ориентируемая поверхность рода 2 допускает геометрическую структуру по образцу Я2, или, короче, допускает гиперболическую структуру. Так как любая замкнутая поверхность с отрицательной эйлеровой характеристикой накрывает эту последнюю, то мы заключаем, что, как и утверждалось во введении, всякая замкнутая поверхность с отрицательной эйлеровой характеристикой допускает гиперболическую структуру. Тем самым получено доказательство приведенного во введении утверждения о том, что каждая замкнутая поверхность допускает геометрическую структуру. [8]
Универсальная накрывающая поверхность является по определению односвязной поверхностью. Если рассматривать только поверхности без границ, то оказывается, что имеется лишь два типа односвязных поверхностей: замкнутая ориентируемая поверхность рода 0 и плоскость, при условии, конечно, что мы интересуемся только топологическими, ( вещественно) дифференциально-геометрическими или комбинаторными свойствами. [9]
При доказательстве этой теоремы существенным образом используется объемный инвариант накрытий и его некоторые модификации, а также сформулированные выше результаты о степенях роста групп. Например, соотцошение ( 4) может быть доказано следующим образом. Пусть 5 - замкнутая ориентируемая поверхность рода 2, снабженная метрикой постоянной отрицательной кривизны. [10]
Если поверхность М является тором Т2, то все точки абсолюта достижимы, Afi ( T2) SQQ. Для каждой точки а абсолюта можно построить аналитический поток / с накрывающим / на М2 такой, что а достижима потоком / и / имеет конечное ( возможно, пустое) множество точек покоя. Для поверхности М, которая является замкнутой ориентируемой поверхностью Мд рода д 2, ситуация в некотором смысле прямо противоположная. Во-вторых, как будет показано ниже, некоторые достижимые точки влияют на гладкость потока и мощность множества точек покоя. Сперва с помощью геодезических ламинаций выделим некоторые множества на абсолюте. [11]