Cтраница 2
Таким образом, обычный для арифметики Древнего Востока метод ложного положения преобразуется у Диофанта в настоящий алгебраический анализ. [16]
Первое корректное определение предела числовой функции было дано Коши в 1821 г. в его Курсе алгебраического анализа. [17]
Термохимические расчетные уравнения были подвергнуты Свенто-славским ( 1908), по его собственному выражению, алгебраическому анализу, который привел к выводу, что закон постоянства теплот образования атомных связей, сформулированный Томсеном, следует считать опровергнутым, в крайнем случае он применим лишь там, где молекулы испытуемых тел содержат вполне насыщенные связи [ 21, с. [18]
Из тех двух сочинений, которые в то время имели для построения курса алгебры руководящее значение - Алгебры Эйлера1 и Курса алгебраического анализа Ко - ши2 - сочинение Лобачевского стоит гораздо ближе к книге Эйлера, хотя по содержанию значительно богаче ее. Первые тринадцать глав содержат формальную теорию арифметических действий над положительными и отрицательными числами и алгебраическими выражениями, решение уравнений первой степени, учение о степенях и корнях, о логарифмах. Глава XIII посвящена тригонометрическим функциям, которые Лобачевский определяет при помощи показательных функций известными формулами Эйлера. Глава XV содержит начала теории конечных разностей, а две последние главы ( XVI и XVII) посвящены решению уравнений высших степеней. [19]
Прежде всего я хочу напомнить известный всем вам ход изложения этого вопроса в школе и его продолжение, примыкающее к так называемой систематике алгебраического анализа. [20]
Первое корректное определение предела числовой последовательности было дано Больцано ( 1817), а затем Коши ( 1821) в его курсе по алгебраическому анализу. В частности, Больцано впервые ясно сформулировал критерий Коши и даже попытался его обосновать; но его рассуждение за полным отсутствием какого бы то ни было определения действительных чисел, не было и не могло быть ничем иным, кроме порочного круга ( Бурбаки), Сам Коши получил свой критерий из принципа вложенных отрезков, который считал очевидным. [21]
Но еще раньше, в том же столетии, возникает учение о бесконечных рядах, в частности о степенных рядах, и притом не как самостоятельная дисциплина в смысле современного алгебраического анализа, но в теснейшей связи с квадратурными проблемами. [22]
Это геометрическое и словесное объяснение едва ли дает нам возможность вывести формулу эластичности спроса на X ( в обычном смысле, эластичности по цене X), но оно точно подкреплено алгебраическим анализом, данным господином Алле-ном. [23]
Какое значение Коши придавал этому вопросу, показывает следующий отрывок из его предисловия к этой книге, воспроизведенный им позднее, слово в слово, в предисловии к Лекциям по дифференциальному исчислению ( 1829): Моей главной целью было согласовать строгость, которую я вменял себе в обязанность в изложении моего курса анализа ( имеется в виду Алгебраический анализ. По этой причине я считал долгом отвергать разложения функций в бесконечные ряды во всех случаях, когда полученные ряды не сходятся, и я был вынужден отнести к интегральному исчислению формулу Тейлора, так как формулу эту можно считать общей лишь тогда, когда содержащийся в ней ряд сведен к конечному числу членов и дополнен определенным интегралом ( подразумевается остаточный член формулы Тейлора в виде определенного интеграла. [24]
Несомненно - хотя и удивительно, - что это современное развитие идей, по существу, прошло совершенно бесследно для характера школьного преподавания, на что я уже неоднократно указывал. Там - в школе - и по сей день обходятся с помощью алгебраического анализа, несмотря на все трудности и несовершенства последнего, избегая всякого применения исчисления бесконечно малых, хотя страх XVIII в. Причину указанного явления приходится искать в том, что с самого начала XIX в. [25]
В это время шла подготова к печати третьего тома его Трактата по алгебраическому анализу. [26]
Даже не в очень удаленные от нас времена можно было встретить в некоторых книгах слова алгебра или алгебраический анализ. Одновременно, однако, в недрах тогдашней алгебры и в связи с ее потребностями возникали некоторые новые теории, в математический анализ никак не укладывавшиеся. Именно, в связи с теорией Галуа возникла теория групп, медленно развивающаяся в девятнадцатом веке в виде теории конечных групп подстановок. Во второй половине девятнадцатого века стала разрабатываться примыкавшая к теории чисел теория полей, а именно - теория полей алгебраических чисел. [27]
Преследуя в основном чисто логические цели, эта теория была мало приспособлена для вычислений и алгебраических построений. Современные теории ведут начало скорее от работ Гаусса ( 1812), Больцано ( 1817), в особенности от знаменитого Курса алгебраического анализа Коши ( 1821), где в качестве основания, считающегося очевидным, был принят принцип вложенных отрезков. Таким образом, определение системы вещественных чисел было приведено к определению системы рациональных чисел и тем самым к определению системы натуральных чисел. Гильбертом ( 1900) он был включен в число основных проблем математики XX века. Гильберт указал и допустимые ( финитные) средства для такого доказательства; однако Гедель ( 1931) показал, что этими средствами проблема в принципе не может быть решена. С законностью применения таких средств далеко не все математики согласны. [28]
В последнее выражение, кроме х и постоянных величин, входит также и h - активность водородных ионов Ее роль в этом процессе можно выяснить с помощью следующих соображений. Прежде всего, исследуя уравнение ( 11), убеждаемся, что y - f ( h ] не имеет максимума. Алгебраический анализ уравнения ( 12) приводит к тем же выводам. Таким образом, для экстрагирования HgCb малые значения рН оказываются благоприятнее высоких. [29]
В выработке точных понятий сходимости бесконечных рядов и других бесконечных процессов первое место занимает Гаусс с его статьей 1812 г. о гипергеометрических рядах; затем следует работа Абеля 1824 г. о биномиальном ряде, между тем как Коши в двадцатых годах впервые публикует о своем Курсе анализа) исследования общего характера о сходимости рядов. Результат всех этих работ по отношению к рассматриваемым здесь рядам состоит в том, что все прежние разложения - поскольку они относились к области сходимости - были правильны, причем точные доказательства оказываются, конечно, очень сложными. Относительно подробностей этих доказательств в их современном виде я снова отсылаю интересующихся к Алгебраическому анализу Бурк-гардта или к книге Вебера и Вельштейна. [30]