Cтраница 1
Суперсингулярная поверхность X типа КЗ над полем характеристики р называется элементарной, если ее решетка Sx Pic X является / - элементарной. В § 8 мы увидим, что элементарность уже следует из супер сингулярности, так что это весьма временное определение. [1]
Всякая суперсингулярная поверхность типа / ГЗ изоморфна одному из слоев семейства. [2]
Для суперсингулярной поверхности X типа КЗ, решетка S PicX, p - элементарна. [3]
Унирациональна ли суперсингулярная поверхность типа КУ. [4]
Заметим, что любая суперсингулярная поверхность X типа, / СЗ, для которой о - ( Х) 0 ( W) 5 имеет хотя бы одну ЛГ-структуру. [5]
Очевидно, что всякая суперсингулярная поверхность типа КЗ обладает ЛГ-структурой с универсальной поляризацией. [6]
Решетка N Pic X для суперсингулярной поверхности X типа КЗ над полем характеристики 2 принадлежит I типу. [7]
Пусть X - В - квазиэллиптический пучок на суперсингулярной поверхности типа КЗ и т - кривая, образованная остриями слоев. Как следует из результатов работы [2], отображение т - В чисто несепарабельно и, значит, кривая ( т рациональна. [8]
Эти и некоторые другие примеры делают интересным вопрос: не будет ли любая суперсингулярная поверхность типа КЗ унирациональна. [9]
Как известно, из теоремы 3 вытекает, что для отображения периодов суперсингулярных поверхностей типа КЗ, введенного Ога-сом [11], имеет место аналог теоремы Торелли и что каждая точка пространства периодов соответствует некоторой поверхности. [10]
В оставшейся части этого параграфа мы изложим некоторые непосредственные приложения перечисленных выше свойств кристаллических когомологий к теории суперсингулярных поверхностей типа КЗ. [11]
Для морфизма X - Spec Я, где R - одномерное, регулярное полное локальное кольцо, общий слой которого - суперсингулярная поверхность типа / f 3, существует такое конечное накрытие R / R и морфизм X - Spec Я, что общий слой X изоморфен общему слою X 8д R, а замкнутый слой также является гладкой поверхностью типа КЗ. [12]
Обозначим через Va неприводимые компоненты многообразия Яп. На каждой из них путем ограничения с Нп определяется семейство Уа - Va суперсингулярных поверхностей типа КЗ. Группа G действует как на каждом из Va, так и на семействе Уа, причем эти действия согласованы. [13]
Из результатов B.C. Куликова [4] следует, что над полем комплексных чисел желаемое семейство X1 существует тогда и только тогда, когда монодромия исходного семейства X конечна. Если предположить, что такой же результат верен над полями произвольной характеристики, то отсюда вытекало бы сформулированное выше свойство, так как очевидно, что в семействе суперсингулярных поверхностей типа КЗ монодромия конечна. [14]
Те работы, обзор которых предлагается, показывают, что есть надежда найти аналог этой теории хотя бы для некоторых поверхностей типа КЗ над полями конечной характеристики. В настоящее время о такой надежде можно говорить для так называемых суперсингулярных, поверхностей, т.е. таких, для которых все циклы в группе двумерных ( этальных) гомологии являются алгебраическими - существование таких поверхностей является феноменом, специфическим для геометрии над полями конечной характеристики. Для них можно определить пространство периодов П и отображение периодов из многообразия модулей в П и есть основания надеяться, что верен аналог теоремы Торелли. Построение периодов для суперсингулярных поверхностей типа КЗ было первоначально предложено Артиным [10], использовавшим плоские гомологии, однако позже Огас [33] показал, что теория естественнее строится в рамках кристаллических гомологии - этим подходом мы и воспользуемся. Приложения того же метода к теории поверхностей типа КЗ над полем комплексных чисел содержатся в предшествующей статье В.В. Никулина в этом сборнике. [15]