Cтраница 1
Трансверсальная поверхность Z ( X): const является в этом случае сферой. [1]
В общем случае трансверсальные поверхности 5 дают также фронт волны в различные моменты времени, при условии, что 50 есть фронт волны в начальный момент времени. [2]
С есть семейство трансверсальных поверхностей для упомянутого выше семейства экстремалей, и, таким образом, это семейство экстремалей образует поле. В силу ( 161) в этом случае левая часть уравнения ( 157) есть полный дифференциал основной функции поля и, таким образом, функция 6 ( 0) является основной функцией упомянутого выше поля. [3]
Упомянутые выше квазисферы называются трансверсальными поверхностями этого поля и функция 9 -основной функцией поля. [4]
Если к const, то пространство однородно, и экстремалями будут прямые линии. Остальные трансверсальные поверхности S0 поля мы получим, откладывая на этих нормалях отрезки одной и той же длины. Это же построение сохраняется и в случае неоднородного пространства, если только сферы заменить квазисферами. Отметим еще, что в [ Н; 128 ] выяснены условия, при которых семейство прямых линий будет семейством нормалей к некоторой поверхности. [5]
Если n co nst, то пространство однородно, и экстремалями будут прямые линии. Остальные трансверсальные поверхности S0 поля мы получим, откладывая на этих нормалях отрезки одной и той же длины. Это же построение сохраняется и в случае неоднородного пространства, если только сферы заменить квазисферами. Отме тим еще, что в [ II; 140 ] выяснены условия, при которых семейство прямых линий будет семейством нормалей к некоторой поверхности. [6]
Обычно говорят, что пучок экстремалей, выходящих из точки Ж0, образует центральное поле экстремалей. Упомянутые выше квазисферы называются трансверсальными поверхностями этого поля и функция 8 - основной функцией поля. [7]
Мы видим, таким образом, что нахождение полного интеграла уравнения ( 176) дает общий интеграл системы ( 175), определяющей экстремали нашей задачи. Соотношение между системой ( 175) и уравнением ( 176) соответствует тому геометрическому факту, что всякое поле экстремальной задачи может быть описано либо при помощи самих экстремалей, образующих поле, либо при помощи трансверсальных поверхностей этого поля. [8]
Нетрудно видеть, что экстремали нашего семейства пересекаются с этой поверхностью S трансверсально. Действительно, достаточно лишь повторить прежнее рассуждение, которое мы проводили в случае центрального поля. Правда, в данном случае точка М0 не является неподвижной, а движется по поверхности 50, но экстремали нашего семейства, по самому их построению, пересекаются с S0 трансверсально, а потому в правой части формулы ( 158) внеинтегральный член обращается на нижнем пределе в нуль, совершенно так же, как и в случае центрального поля. Таким образом, поверхности S, заполняющие часть пространства в окрестности поверхности S0, пересекаются с экстремалями построенного семейства трансверсально. В этом случае также говорят, что семейство экстремалей является полем экстремалей, а поверхности S суть трансверсальные поверхности этого поля. Таким образом, семейство экстремалей является полем экстремалей, если существует семейство поверхностей, зависящих от одного параметра и пересекающихся трансверсально с экстремалями семейства. Величина интеграла ( 147), взятого вдоль упомянутой выше дуги М0М экстремали нашего поля, является функцией В ( х, у, г) координат точки М, и уравнение ( 159) есть уравнение семейства трансверсальных поверхностей нашего поля. В случае интеграла, соответствующего задаче геометрической оптики, квазисферы центрального поля представляют собой фронт волны от локального возмущения в точке М0 в различные моменты времени. [9]
Нетрудно видеть, что экстремали нашего семейства пересекаются с этой поверхностью 5 трансверсально. Действительно, достаточно лишь повторить прежнее рассуждение, которое мы проводили в случае центрального поля. Правда, в данном случае точка М0 не является неподвижной, а двигается по поверхности S0, но экстремали нашего семейства, по самому их построению, пересекаются с S0 трансверсально, а потому в правой части формулы ( 158) внеинте-гральный член обращается на нижнем пределе в нуль, совершенно так же, как и в случае центрального поля. Таким образом, поверхности 5, заполняющие часть пространства в окрестности поверхности S0, пересекаются с экстремалями построенного семейства трансверсально. В этом случае также говорят, что семейство экстремалей является полем экстремалей, а поверхности S суть трансверсальные поверхности этого поля. Таким образом, семейство экстремалей является полем экстремалей, если существует семейство поверхностей, зависящих от одного параметра и пересекающихся трансверсально с экстремалями семейства. Величина интеграла ( 147), взятого вдоль упомянутой выше дуги М0М экстремали нашего поля, является функцией 6 ( х, у, г) координат точки М, и уравнение ( 159) есть уравнение семейства трансверсальных поверхностей нашего поля. [10]
Нетрудно видеть, что экстремали нашего семейства пересекаются с этой поверхностью S трансверсально. Действительно, достаточно лишь повторить прежнее рассуждение, которое мы проводили в случае центрального поля. Правда, в данном случае точка М0 не является неподвижной, а движется по поверхности 50, но экстремали нашего семейства, по самому их построению, пересекаются с S0 трансверсально, а потому в правой части формулы ( 158) внеинтегральный член обращается на нижнем пределе в нуль, совершенно так же, как и в случае центрального поля. Таким образом, поверхности S, заполняющие часть пространства в окрестности поверхности S0, пересекаются с экстремалями построенного семейства трансверсально. В этом случае также говорят, что семейство экстремалей является полем экстремалей, а поверхности S суть трансверсальные поверхности этого поля. Таким образом, семейство экстремалей является полем экстремалей, если существует семейство поверхностей, зависящих от одного параметра и пересекающихся трансверсально с экстремалями семейства. Величина интеграла ( 147), взятого вдоль упомянутой выше дуги М0М экстремали нашего поля, является функцией В ( х, у, г) координат точки М, и уравнение ( 159) есть уравнение семейства трансверсальных поверхностей нашего поля. В случае интеграла, соответствующего задаче геометрической оптики, квазисферы центрального поля представляют собой фронт волны от локального возмущения в точке М0 в различные моменты времени. [11]
Нетрудно видеть, что экстремали нашего семейства пересекаются с этой поверхностью 5 трансверсально. Действительно, достаточно лишь повторить прежнее рассуждение, которое мы проводили в случае центрального поля. Правда, в данном случае точка М0 не является неподвижной, а двигается по поверхности S0, но экстремали нашего семейства, по самому их построению, пересекаются с S0 трансверсально, а потому в правой части формулы ( 158) внеинте-гральный член обращается на нижнем пределе в нуль, совершенно так же, как и в случае центрального поля. Таким образом, поверхности 5, заполняющие часть пространства в окрестности поверхности S0, пересекаются с экстремалями построенного семейства трансверсально. В этом случае также говорят, что семейство экстремалей является полем экстремалей, а поверхности S суть трансверсальные поверхности этого поля. Таким образом, семейство экстремалей является полем экстремалей, если существует семейство поверхностей, зависящих от одного параметра и пересекающихся трансверсально с экстремалями семейства. Величина интеграла ( 147), взятого вдоль упомянутой выше дуги М0М экстремали нашего поля, является функцией 6 ( х, у, г) координат точки М, и уравнение ( 159) есть уравнение семейства трансверсальных поверхностей нашего поля. [12]