Cтраница 1
Периодические подгруппы разрешимой А - группы распадаются в конечное число классов сопряженных подгрупп. [1]
Периодические подгруппы алгебраических групп, Докл. [2]
Вопрос об исследовании периодических подгрупп разрешимых - групп приводится ввиду теоремы 3 к исследованию, с одной стороны, подгрупп периодических разрешимых групп, а с другой - к исследованию периодических и, следовательно, конечных подгрупп разрешимых 44-групп. Легко видеть, что ни максимальные периодические подгруппы разрешимых 44-групп, ни их силовские подгруппы в общем случае не будут сопряженными. Например, группа с образующими а, Ъ, с и определяющими соотношениями я4 1, a - i ba с, сГ са & 1, be cb имеет два класса сопряженных иловских подгрупп 4-го порядка и один класс силовских подгрупп 2-го порядка. Это положение характерно и для общего случая. [3]
Если группа имеет периодическую подгруппу конечного индекса, то она сама периодическая. [4]
Пусть С АВ, где а) А и В - периодические подгруппы группы С и б) порядок любого элемента из А взаимно прост с порядком любого элемента из В. [5]
Из нее, в частности, вытекает, что во всякой разрешимой группе типа А максимальные периодические подгруппы распадаются в конечное число классов сопряженных подгрупп. [6]
Вопрос об исследовании периодических подгрупп разрешимых - групп приводится ввиду теоремы 3 к исследованию, с одной стороны, подгрупп периодических разрешимых групп, а с другой - к исследованию периодических и, следовательно, конечных подгрупп разрешимых 44-групп. Легко видеть, что ни максимальные периодические подгруппы разрешимых 44-групп, ни их силовские подгруппы в общем случае не будут сопряженными. Например, группа с образующими а, Ъ, с и определяющими соотношениями я4 1, a - i ba с, сГ са & 1, be cb имеет два класса сопряженных иловских подгрупп 4-го порядка и один класс силовских подгрупп 2-го порядка. Это положение характерно и для общего случая. [7]
Поэтому факторгруппа по ней и не может иметь естественного смысла. Действительно, например, в связи с группой Бауэра возникает лишь ее периодическая подгруппа. [8]
Абелева группа, содержащая элементы как конечного, так и бесконечного порядка, называется смешанной. Как показывают примеры, смешанная группа ие всегда представима в виде пря-яой суммы периодической подгруппы н группы без кручения. Но поскольку периодическая подгруппа сервантна, теорема 13.4.1 часто дает возможность разложить смешанную группу в прямую сумму периодической части и некоторой другой группы. [9]
В соответствии с этим разрешимые - группы - это разрешимые группы, обладающие конечным нормальным рядом, все факторы которого являются абелевыми Лггруппами. При этом легко видеть, что разрешимые 42-группы - это разрешимые группы конечного ранга, разрешимые Л4 - группы - это разрешимые группы конечного ранга, в которых все периодические подгруппы конечны, и разрешимые Л5 - группы совпадают с полициклическими группами Гирша. [10]
Абелева группа, содержащая элементы как конечного, так и бесконечного порядка, называется смешанной. Как показывают примеры, смешанная группа ие всегда представима в виде пря-яой суммы периодической подгруппы н группы без кручения. Но поскольку периодическая подгруппа сервантна, теорема 13.4.1 часто дает возможность разложить смешанную группу в прямую сумму периодической части и некоторой другой группы. [11]
Подгруппа S принадлежит R ( G) и нильпотентна. Согласно предыдущему, в каждой группе G / Si все периодические подгруппы конечны, и следовательно, все G / Si являются разрешимыми Л4 - группами. Таким образом, и G / S - разрешимая Л4 - группа. [12]