Cтраница 1
Подпространство топологического пространства называют предкомпактным, если его замыкание компактно. [1]
Если Y - подпространство топологического пространства X, то Y неприводимо тогда и только тогда, когда его замыкание Y неприводимо. По лемме Цорна каждое неприводимое подпространство пространства Xt содержится в максимальном, так что максимальные неприводимые подпространства замкнуты. Они называются неприводимыми компонентами пространства X. Так как замыкание точки - неприводимое подпространство и, следовательно, содержится в некоторой неприводимой компоненте, то X - объединение своих неприводимых компонент. [2]
Пусть А - всюду плотное подпространство топологического пространства Е и / - непрерывное отображение А в полное метрическое пространство F; показать, что то точки из Е, в которых / но имеет предела ( относительно А), образуют в Е тощее множество. [3]
Если семейство Cs ss связных подпространств топологического пространства имеет непустое пересечение, то его объединение J Cs связно. [4]
Пусть Cs seS - некоторое семейство подпространств топологического пространства X, каждое из которых яв ляется континуумом. [5]
Множество О становится, таким образом, топологическим пространством с Во в качестве подбазы, Желая указать, что операция взятия внутренности в О определена описанным образом, мы будем говорить, что 0 является топологическим подпространством топологического пространства X. Из определения легко следует, что Вс - не только подбаза в 0, но даже совпадает с классом всех открытых подмножеств топологического пространства О, Другими словами, множество В 0 является открытым в топологическом пространстве 0 тогда и только тогда, когда существует множество А А, открытое в А и такое, что В О Л А, Переходя к дополнениям, мы получаем, что множество В сг О замкнуто в О тогда и только тогда, когда существует множество А а X, замкнутое в А и такое, что В О Л А. [6]
Из ( 3) ( или из 2.1 и I, § 2, ( И)) следует, что топологическое пространство С с операцией взятия внутренности 1С, определенной таким образом, является топологическим подпространством топологического пространства X в смысле I, § 2, стр. [7]
Примеры операторов замыкания весьма многочисленны. Так, в полной структуре подпространств топологического пространства оператором замыкания будет отображение, ставящее в соответствие каждому подпространству его замыкание. Если каждому элементу полной структуры ф ( - Ь), где Ъ - линейное пространство над полем, будем ставить в соответствие его линейную оболочку, то также получим оператор замыкания. [8]
Очевидно, подпространство связного пространства может не быть связным. Обсудим вкратце вопрос о том, когда подпространство произвольного топологического пространства связно. [9]
Тогда на Y также можно задать топологию, объявив открытым всякое множество вида Y П С /, где U - открытое в X множество. Тогда топологическое пространство Y называется подпространством топологического пространства X, а топология в У - индуцированной топологией. Если X - метрическое пространство, a Y - его подпространство, то топология в Y задается независимо от порядка операций: ограничения метрики и перехода к топологии или перехода к топологии и индуцирования топологии. [10]
Тогда на Y также можно задать топологию, объявив открытым всякое множество вида Y П С /, где U - открытое в X множество. Тогда топологическое пространство Y называется подпространством топологического пространства X, а топология в Y - индуцированной топологией. Если X - метрическое пространство, a Y - его подпространство, то топология в Y задается независимо от порядка операций: ограничения метрики и перехода к топологии, или перехода к топологии и индуцирования топологии. [11]