Cтраница 1
Горизонтальное подпространство е б изоморфно касательному пространству ТХ. [1]
Каждое горизонтальное подпространство Я из Ти ( Р) определяет линейный репер на многообразии Р в точке и следующим образом. Так как структурная группа G действует на Р, то каждый элемент А из g индуцирует вертикальное векторное поле Л на Р, называемое фундаментальным векторным полем, соответствующим элементу А. [2]
Подпространство Нр называется горизонтальным подпространством. [3]
Таким образом, выбор горизонтального подпространства означает выбор функции В. [4]
Поэтому касательное пространство Т Р есть прямая сумма так определенного горизонтального подпространства и вертикального подпространства. [5]
Если задана связность, то тг, ограниченное на горизонтальное подпространство Нр, является изоморфизмом. [6]
В этом примере вертикальная проекция, задаваемая указанием ее ядра - горизонтального подпространства в точке ( x) f - канонически определяется структурой прямого произведения R3 К [ R. Однако над топологически нетривиальными многообразиями существуют векторные расслоения, не являющиеся прямыми произведениями, и тогда горизонтальное распределение, или связность, представляет собой дополнительную часть геометрических данных. Препятствием к существованию локального базиса из плоских сечений является кривизна этой связности, а ее глобальные свойства отражают степень скрученности расслоения. [7]
Например, в канонических координатах ( р, q) на Е вертикальное подпространство q 0 и горизонтальное подпространство р 0 лагранжевы. [8]
Если бы, кроме того, удалось показать, что лагранжево Р - инва-риантное подпространство является горизонтальным подпространством при любом выборе начальной точки геодезической, то отсюда следовало бы, что М плоское. [9]
Если f: Я2 - Я2 - изометрия, то df: ТН2 - - ТН2 также является изометрией, если снабдить многообразие ТН2 указанной выше метрикой. Действительно, ясно, что отображение d ( df) w Tw ( TH2) - - Tdf ( W) ( TH2) переводит вертикальные и горизонтальные подпространства касательного пространства TW ( TH2) в вертикальные и горизонтальные подпространства его образа Taf ( w) ( TH2) и сохраняет скалярное произведение в каждом из подпространств. [10]
Касательный вектор X в Пг называется горизонтальным. Аффинную связность можно также определить как правило, которое каждому reGL ( M) ставит is соответствие линейное подпространство Иг пространства TT ( GL ( M ( см. Номизу [136]); НГ называется горизонтальным подпространством. [11]
Если f: Я2 - Я2 - изометрия, то df: ТН2 - - ТН2 также является изометрией, если снабдить многообразие ТН2 указанной выше метрикой. Действительно, ясно, что отображение d ( df) w Tw ( TH2) - - Tdf ( W) ( TH2) переводит вертикальные и горизонтальные подпространства касательного пространства TW ( TH2) в вертикальные и горизонтальные подпространства его образа Taf ( w) ( TH2) и сохраняет скалярное произведение в каждом из подпространств. [12]
Поэтому для описания метрики у B терминах независимых объектов, метрику у на Р нужно разложить дальше и отбросить ее вертикальную компоненту. ЙГ-инвариантная метрика на главном расслоении Р ( М К) порождает в нем связность. Ее горизонтальные подпространства определяются как ортогональные дополнения к вертикальным подпространствам Vp в ТРР. [13]