Cтраница 1
Дю Буа-Реймон ( du Bois-Reymond [2]) рассматривал лишь случай ограниченных функций, интегрируемых в смысле Римана. [1]
Дю Буа-Реймон прислал Эрмиту свою книгу Общая теория функций. Эрмит представил ее Академии наук. [2]
Видимо, Дю Буа-Реймон написал, что и в Германии не очень-то помнят своих великих математиков, так как в письме от 29 января 188Q г. Эрмит говорит: Очень жалею о том, что Германия забыла, какую блестящую славу принесли ей великие Геометры. В начале века мы имели Лагранжа, Лапласа, Фурье, Пуассона, Коши. Сегодня Вейерштрасс им равен. Несомненно, что именно, он держит скипетр анализа, он достоин всех почетных титулов, самых больших, какими может располагать правительство. И в обстоятельствах столь торжественных, когда математическая Европа предлагает ему свидетельство своего восхищения, ваши министры его забывают. [3]
Из леммы дю Буа-Реймона вытекает также, что оба определения носителя непрерывной функции, данные в § 1.2 и § 5.5, совпадают. [4]
Печатные работы Дю Буа-Реймона, относящиеся к гей-дельбергскому периоду, посвящены уравнениям в частных производных, теории рядов Фурье, вопросам представимости функций рядами Фурье. Занимаясь этими вопросами, Дю Буа-Реймон вступает в область теории функций вещественной переменной, изучает фундаментальные разделы этой области математики, особенное внимание уделяя трудам Вейерштрасса. Результатом его занятий теорией функций вещественного переменного явился труд Общая теория функций [ II, 183 ], о переводе которой на французский язык [ II, 186 ] упоминается в письмах Эрмита. В этой книге он говорит, в частности, о различном подходе к понятию числа ( основного понятия, из которого в дальнейшем получается вся его теория) - идеалистическом и эмпирическом. Изложение этих противоположных точек зрения автор предлагает в форме спора двух лиц - идеалиста и эмпирика. В последние годы жизни ученый вернулся к исследованиям по теории уравнений в частных производных. [5]
В письме к Дю Буа-Реймону Эрмит говорит о необходимости сближения математики и естественных наук, видя в простых числах, иррациональных и трансцендентных числах реальности вне нас, которые существуют с той же необходимостью, что и субстанции и все существа видимой природы. [6]
В § 2 и § 3 даются вспомогательные результаты, необходимые как для получения обобщенной теоремы дю Буа-Реймона ( доказываемой в § 4), так и для дальнейших результатов по единственности. Как следствие полученных результатов доказывается, что сумма счетного множества замкнутых U-множеств есть U-множество. [7]
Летом 1886 г. Эрмит ездил на празднование годовщины Гейдельбергского университета и мечтал о длительных беседах с Дю Буа-Реймоном в Гейдельберге. [8]
Вскоре Вы получите, в редакции одного из моих студентов, Лекции, которые были столь сурово оценены, и я позволю себе, с педагогической точки зрения, так же как и с точки зрения Анализа, обратиться к Вашему суду [ I, 226, с. Дю Буа-Реймон, видимо, предложил написать заметку в защиту Эрмита, и тот письменно благодарит его за сочувствие [ I, 226, с. Но в этот момент Эрмит узнал о статье Линдемана, доказавшего невозможность квадратуры круга [ II, 303, 304 ]: Вы понимаете, как меня интересует прекрасное открытие г. Линдемана, который любезно пожелал сообщить мне о нем и написать о своем методе в письме, которое г. Бертран не задержал и которое появится в Отчете о следующем заседании. Для меня было чрезвычайным удовольствием узнать, что мои прежние исследования способствовали результату, который их намного превосходит и заполняет огромный пробел в Анализе. И разве это пе доказывает блестящим образом, что Германцы и Кельты - одно и сражаются на полях науки одним и тем же оружием. [9]
Эрмит с волнением ожидал ответа на это письмо и был очень рад, узнав, что недоразумение благополучно разрешено и Кронекер с Вейерштрассом уже помирились. Дю Буа-Реймон подробно описал празднование 70-летия Вейерштрасса ( 31 октября 1885 г.), на котором большую речь в честь юбиляра произнес именно Кронекер. В связи с этим известием Эрмит вспоминает, что он присутствовал в 1877 г. на праздновании 100-летней годовщины Гаусса в Геттингене и никогда не забудет этого зрелища. Он высказывает сожаление, что во Франции не отмечают юбилейных дат знаменитых ученых. [10]
Всякая локально интегрируемая функция в Rn определяет по формуле ( 11) регулярную обобщенную функцию. Из леммы дю Буа-Реймона следует, что всякая регулярная обобщенная функция определяется единственной) локально интегрируемой в R функцией. R, функции являются ( регулярными) обобщенными функциями. [11]
Всякая локально интегрируемая функция в Rn определяет по формуле ( 11) регулярную обобщенную функцию. Из леммы дю Буа-Реймона следует, что всякая регулярная обобщенная функция определяется единственной) локально интегрируемой в Rn функцией. Следовательно, между локально интегрируемыми в Rn функциями и регулярными обобщенными функциями существует взаимно однозначное соответствие. [12]
Поскольку и - обобщенное решение уравнения ( 1) в области G, то непрерывная в G функция L ( x, d) u - f обращается в нуль в области G в смысле обобщенных функций. По лемме дю Буа-Реймона ( см. § 5.6) L ( x, д и ( х - j ( x - 0 во всех точках области G, так что и удовлетворяет уравнению ( 1) в области G в классическом смысле. [13]
Печатные работы Дю Буа-Реймона, относящиеся к гей-дельбергскому периоду, посвящены уравнениям в частных производных, теории рядов Фурье, вопросам представимости функций рядами Фурье. Занимаясь этими вопросами, Дю Буа-Реймон вступает в область теории функций вещественной переменной, изучает фундаментальные разделы этой области математики, особенное внимание уделяя трудам Вейерштрасса. Результатом его занятий теорией функций вещественного переменного явился труд Общая теория функций [ II, 183 ], о переводе которой на французский язык [ II, 186 ] упоминается в письмах Эрмита. В этой книге он говорит, в частности, о различном подходе к понятию числа ( основного понятия, из которого в дальнейшем получается вся его теория) - идеалистическом и эмпирическом. Изложение этих противоположных точек зрения автор предлагает в форме спора двух лиц - идеалиста и эмпирика. В последние годы жизни ученый вернулся к исследованиям по теории уравнений в частных производных. [14]
Настоящая глава будет посвящена двум вопросам, тесно связанным между собой, и уже немного осьещенным в главе I. Первый из них - вопрос, на который частично отвечает теорема дю Буа-Реймона ( см. § 72 главы I), можно формулировать так: зная, что тригонометрический ряд сходится к некоторой функции, установить, должен ли он быть ее рядом Фурье. Такая формулировка выражена в неточной форме, и здесь прежде всего надо уточнить, где сходится тригонометрический ряд и к какой функции. В настоящей главе ( см. § 4) это предложение значительно обобщается, а именно доказывается, что если тригонометрический ряд сходится всюду, вне счетного множества, к конечной суммируемой функции, то этот ряд есть ее ряд Фурье. Отсюда, в частности, вытекает теорема Юнга: если тригонометрический ряд сходится к нулю всюду, вне счетного множества, то все его коэффициенты равны нулю. Этот результат является обобщением теоремы Кантора ( см. главу I, § 70) о том, что сходимость тригонометрического ряда к нулю всюду, или всюду, кроме, быть может, конечного числа точек, влечет равенство нулю всех его коэффициентов. [15]