Cтраница 3
Пропозициональная формула называется тавтологией, если она превращается в истинное высказывание при любой подстановке конкретных высказываний вместо переменных; каждая тавтология является схемой истинных высказываний и в этом смысле выражает некоторый логический закон. Приведем примеры логических законов: ( Р V - Р) - закон исключенного третьего; ( - i - iP Р) - закон двойного отрицания; - i ( P & - iP) - закон противоречия; ( ( ( Р D Q) D Р) D Р) - закон Пирса. [31]
Сопротивление, оказываемое тому, что препятствует какому-нибудь действию, благоприятствует этому действию и согласуется с ним. Следовательно, когда определенное проявление свободы само оказывается препятствием к свободе, сообразной со всеобщими законами ( т.е. неправым), тогда направленное против такого применения принуждение как то, что воспрепятствует препятствию для свободы, совместимо со свободой, сообразной со всеобщими законами, т.е. бывает правым; стало быть, по закону противоречия с правом связано также правомочие применять принуждение к тому, кто наносит ущерб этому праву. [32]
В первом суждении говорится, что самых высоких показателей в соревновании добилась одна бригада. Во втором же говорится, что таких же высоких результатов добились рабочие другой бригады. Налицо противоречие: лучших результатов может добиться только одна бригада. Из двух приведенных утверждений одно истинно, а другое, в соответствии с законом противоречия, неистинно. [33]
СВЕТИЛИН, Александр Емельянович ( 1842 - 87) - рус. Мышления законы ( в традиционном формально логическом их понимании) С. Закон противоречия определяется С. Согласно этому закону, тождеств, мысли должны быть утверждаемы или отрицаемы все, коль скоро принята или ( соответственно) отвергнута одна из них. Дополнением к закону противоречия является закон исключенного третьего. [34]
Дополнение множества есть множество всех объектов не принадлежащих множеству. Так, дополнением множества всех животных, которые являются любимыми, было бы множество всех нелюбимых животных. Такого пересечения не существует. Это называется законом противоречия. Животное не может быть одновременно любимым и нелюбимым. [35]
Значительный интерес представляет в этой связи вопрос о взаимосвязи законов разной степени общности. На этот вопрос есть два альтернативных ответа: 1) действие общих законов проявляется в специфических законах; 2) общие законы действуют самостоятельно наряду со специфическими. Первое решение вопроса представляется более приемлемым, если исходить из диалектики общего и особенного. Общее не существует наряду с отдельным и единичным, а проявляется в них, как отдельное и особенное не существует вне связи с общим. Аналогичным образом и действие общих законов проявляется в действии частных, а не помимо них. Трудно, например, допустить существование в сфере общественной жизни наряду с законом противоречия между трудом и капиталом, законом соответствия производительных сил и производственных отношений еще и некоторого абстрактного закона противоречия. Все противоречия общественного развития выступают как конкретные формы проявления действия всеобщего закона диалектического противоречия. Реальность существования общего закона и определяется его неразрывной связью с реальностью действия специфических, частных законов. [36]
СВЕТИЛИН, Александр Емельянович ( 1842 - 87) - рус. Мышления законы ( в традиционном формально логическом их понимании) С. Закон противоречия определяется С. Согласно этому закону, тождеств, мысли должны быть утверждаемы или отрицаемы все, коль скоро принята или ( соответственно) отвергнута одна из них. Дополнением к закону противоречия является закон исключенного третьего. [37]
Пусть суждения I-III высказаны об одном и том же треугольнике. Если треугольник остроугольный, то суждение I истинное, а суждение II - ложное. Таким образом, оба суждения об одном и том же треугольнике, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении, не могут быть одновременно истинными. А если на самом деле треугольник прямоугольный. Тогда ясно, что оба суждения, I и II, ложные. Таким образом, закон противоречия не разрешает двум противоречащим суждениям быть одновременно истинными, но он не запрещает им быть одновременно ложными. Об этом часто забывают студенты в рассуждениях или при решении задач. Например, при решении геометрической задачи один студент получил треугольник остроугольный, а второй студент - треугольник тупоугольный. Допустим, что сообща они доказали, что треугольник - неостроугольный. Значит, треугольник тупоугольный - такой вывод делают некоторые студенты. [38]
Здесь своеобразно осуществлен принцип: или все - или ни одно, или все - или ничего. Но ведь возможен вариант: не все, но некоторые; не все, но что-то. Как раз об этом и говорится в суждении VI: Некоторые кристаллические тела при плавлении не увеличиваются в объеме. Таким образом, не все, но некоторые не увеличиваются в объеме. Между суждениями типа IV и V всегда есть суждение третье, типа VI. Поэтому хотя суждения IV и V по форме напоминают противоречащие суждения, но по существу они противоположные. Следовательно, к ним закон исключенного третьего неприменим, а применим только закон противоречия. Оба высказывания не могут быть одновременно истинными, но они могут быть одновременно ( внимание. [39]
Конфигурации, конструктивные классы конфигураций и конструктивные операции представляют собой тот круг понятий, который мы принимаем за основу всех дальнейших построений. Более того, мы исключаем пользование понятиями, не сводящимися к ним. Однако для того, чтобы полностью исключить пользование бесконечностью в актуальной форме, мы должны ограничить и средства рассуждений над этими понятиями. Классы конфигураций, которые мы ввели, вообще говоря, уже бесконечны, и употребление для них таких логических принципов, как закон исключенного третьего, лишает эти бесконечности их потенциального характера. Опишем те логические и математические принципы, пользование которыми да-пускается. В пределах рассмотрения одной или любого конечного числа конфигураций для всех рассуждений, проводимых в терминах только элементов конфигураций, свойств и отношений между этими элементами, мы допускаем все логические и математические средства без всяких ограничений. Все остальные логические принципы мы сохраняем. В частности, допускается закон противоречия. Этот закон, как известно, состоит в утверждении невозможности того, что какое-либо высказывание и одновременно его отрицание истинны. В силу этого некоторые формы доказательства от противного находят себе место в допускаемых рассуждениях. Понятие существования мы употребляем в смысле возможности построения. Из математических принципов доказательств мы сохраним один, носящий название аксиомы полной индукции. Применение этого принципа связано с конструктивными определениями. [40]