Максимальный ляпуновский показатель
Cтраница 1
Максимальный ляпуновский показатель остается в основном положительным ( за исключением неизбежных периодических окон) во всем диапазоне параметров рисунка 10.6. Вне области синхронизации второй ляпуновский показатель является практически нулевым, в то время как внутри области он отрицателен. Следовательно, второй ляпуновский показатель имеет те же свойства, что и максимальный показатель системы с периодическими колебаниями. [2]
При хаосе максимальный ляпуновский показатель положителен, но под действием внешнего шума он может поменять знак. Один возможный механизм стабилизации заключается в шуме, зависящем от координат ( модулированном), подобно случаю периодических колебаний, описанному в разделе 15.2.1. Другая возможность состоит в том, что шум не влияет на устойчивость непосредственно, но изменяет функцию распределения в фазовом пространстве. В результате этого некоторые устойчивые области в фазовом пространстве могут посещаться более часто, приводя к уменьшению ляпу невского показателя. Этот механизм работает и при аддитивном шуме. [3]
Чтобы убедиться в том, что в формулу (3.1) входит именно энтропия, а не максимальный ляпуновский показатель, в работе [224] была исследована синхронизация хаотических колебаний в системе Маккея-Гласса ( см. уравнения (9.3), (9.21) гл. Эта система, описываемая уравнением с запаздывающим аргументом, замечательна тем, что для нее, начиная с некоторого значения времени запаздывания т, максимальный ляпуновский показатель с ростом т уменьшается, а энтропия остается примерно постоянной. [4]
Анализ зависимостей плотности пространственного заряда от времени в различных сечениях х хфикс диодного промежутка показал, что характеристики колебаний ( спектр мощности, фазовый портрет, корреляционная размерность [33] и максимальный ляпуновский показатель [34]), рассчитанные по временным реализациям р ( жфикс, ), оставались постоянными с изменением координаты жфикс. [5]
Уравнения (15.10) описывают динамику вынуждаемой системы; ясно, что состояние у следует за силой х независимо от начальных условий у ( 0) только, если динамика у устойчива, т.е. максимальный ляпуновский показатель в подсистеме у отрицателен. Это условие необходимо, но не достаточно. Другая особенность состоит в том, что устойчивость по у может обеспечить существование функции Н, но не ее гладкость. Как мы увидим, функция Н может быть фрактальной. [6]
Предполагается, что в начальный момент времени эти точки близки, т.е. D ( Q) C R, где R - характерный геометрический размер аттрактора в фазовом пространстве. Положительное значение максимального ляпуновского показателя А свидетельствует о хаотической динамике системы. При этом через промежуток времени Т n ( R / D ( G)) / поведение системы становится непредсказуемым. [7]
Чтобы вычислить несколько ляпуновских показателей, необходимо отслеживать эволюцию соответствующего числа векторов возмущения вдоль рассматриваемой фазовой траектории. Если не предпринимать специальных мер, то в каждом векторе будет представлена составляющая с максимальным ляпуновским показателем, которая будет доминировать на больших временах, и оценить следующие показатели не удастся. Попытка рассчитать полную матрицу эволюции и ее сингулярные числа также обычно не приводит к успеху. По той же самой причине, из-за доминирования возмущения с максимальным ляпуновским показателем, задача оказывается плохо обусловленной. [8]
Чтобы убедиться в том, что в формулу (3.1) входит именно энтропия, а не максимальный ляпуновский показатель, в работе [224] была исследована синхронизация хаотических колебаний в системе Маккея-Гласса ( см. уравнения (9.3), (9.21) гл. Эта система, описываемая уравнением с запаздывающим аргументом, замечательна тем, что для нее, начиная с некоторого значения времени запаздывания т, максимальный ляпуновский показатель с ростом т уменьшается, а энтропия остается примерно постоянной. [9]
Чтобы вычислить несколько ляпуновских показателей, необходимо отслеживать эволюцию соответствующего числа векторов возмущения вдоль рассматриваемой фазовой траектории. Если не предпринимать специальных мер, то в каждом векторе будет представлена составляющая с максимальным ляпуновским показателем, которая будет доминировать на больших временах, и оценить следующие показатели не удастся. Попытка рассчитать полную матрицу эволюции и ее сингулярные числа также обычно не приводит к успеху. По той же самой причине, из-за доминирования возмущения с максимальным ляпуновским показателем, задача оказывается плохо обусловленной. [10]
В этом разделе мы обсудим переход к полной синхронизации с геометрической точки зрения путем описания объектов в фазовом пространстве и их бифуркаций. Нашей целью является установление связи этого перехода с бифуркациями отдельных траекторий. Удобно рассматривать неустойчивые периодические траектории, поскольку они образуют скелет хаотического множества. Они плотны на хаотическом аттракторе и многие характеризующие хаос величины ( например, инвариантная мера, максимальный ляпуновский показатель) могут быть выражены через периодические траектории. Преимуществом такого представления служит возможность использовать результаты обычной теории бифуркаций ( см., например, [ Йосс и Джозеф 1983; Guckenheimer and Holmes 1986; Hale and Kogak 1991 ]), поскольку они непосредственно применимы к периодическим орбитам. [11]
Страницы: 1