Cтраница 1
Слабый закон больших чисел дает оценки вероятности отклонений среднестатистических сумм от матожидания и гарантирует стремление этих вероятностей к нулю. [1]
Применяя теперь слабый закон больших чисел, получаем следующие результаты. [2]
Мы видели, что слабый закон больших чисел в форме (7.8) применим и к некоторым последовательностям случайных величин, ire имеющих математического ожидания. В противоположность этому для усиленного закона существование математического ожидания Е ( Xj) необходимо. В подтверждение этого следующая теорема показывает, что при отсутствии конечного математического ожидания последовательность арифметических средних Sn / n не ограничена с вероятностью единица. [3]
Только что доказанную теорему называют слабым законом больших чисел. Наряду с этим законом существует еще усиленный закон больших чисел, но в математической статистике он едва ли играет заметную роль. [4]
То, что утверждение гораздо сильнее слабого закона больших чисел, следует из того факта, что соотношение (8.1) выполняется, как мы видели, для некоторых последовательностей jXfe, не имеющих математического ожидания. В противоположность этому существование математического ожидания является необходимым условием для усиленного закона больших чисел. [5]
Утверждения данной леммы попросту сводятся к слабому закону больших чисел. [6]
Доказать, что к Хд применимы как слабый закон больших чисел, так и усиленный закон больших чисел. Это означает, что условие (5.5) не является необходимым. [7]
Рассмотренные варианты стабилизации среднего обычно характеризуются как слабый закон больших чисел, но он при осознании производит довольно сильное психологическое впечатление. [8]
VII, 7, было показано, что слабый закон больших чисел, может выполняться даже в том случае, когда величины X / ие имеют математических ожиданий. Доказательство в тексте показывает, что существование производной Фх 0 есть достаточное условие, На самом деле это условие также необходимо ( см, гл. [9]
Усиленный закон больших чисел утверждает тогда, что Sn-tnn / n стремится к нулю с вероятностью единица. В терминологии теории функций действительного переменного усиленный закон больших чисел означает сходимость почти всюду, а слабый закон больших чисел эквивалентен сходимости по мере. [10]
Оба закона были довольно сильно обобщены, и в своей окончательной форме пи один из них не влечет за собой другого. Это, однако, технические вопросы, которые нас в данном случае не интересуют. Математическое содержание слабого закона больших чисел относительно бедно. В форме (1.4) он превращается в занимательную теорему о биномиальных коэффициентах. Может ли тогда он быть выражением таинственного закона средних, упоминавшегося выше. [11]
Эта задача представляет теоретический интерес. Она применима, если Ф имеет производную в нуле. XVII 2а, что это возможно даже в том случае, когда F не имеет математического ожидания, и что тем не менее слабый закон больших чисел применим в этом случае. [12]