Cтраница 1
Плоское электростатическое поле с напряженностью Е Ех - 1Еу Ее1 характеризуется аналитической функцией w ( г) и - - iv, называемой комплексным потенциалом; v называется потенциальной функцией ( она всегда однозначна. [1]
Под плоским электростатическим полем понимается плоская среда, в каждой точке Р которой задан вектор Е - сила поля. [2]
Поэтому исследование плоского электростатического поля с помощью комплексного потенциала может быть проведено теми же методами, что и решение соответствующих гидродинамических задач. Так, все примеры течений, рассмотренные на с. [3]
Итак, для всякого плоского электростатического поля в одно-связной области, свободной от зарядов, существует аналитическая функция - комплексный потенциал поля. [4]
Справедливо и обратное утверждение: любую аналитическую функцию, заданную в односеязной области, можно рассматривать как комплексный потенциал некоторого плоского электростатического поля, расположенного в рассматриваемой области, с зарядами, лежащими вне ее. [5]
Эти кривые образуют ортогональные семейства эллипсов и софокусных гипербол с фокусами F и F, отстоящими друг от друга на расстоянии Id. Рассмотрим эллипсы и гиперболы соответственно как эквипотенциальные и силовые линии некоторого плоского электростатического поля. В пространстве эквипотенциальные поверхности представляют собой эллиптические цилиндры. [6]
При концентрическом расположении проводов согласно выражениям ( 4 - 5 - 10) d0i do2 - - и емкость определяется формулой ( 4 - 5 - 5) для цилиндрического конденсатора. Емкость конденсаторов со сложной формой проводников можно определять методом конформного отображения, основанным на теории функций комплексного переменного ( § Д-5), если поле конденсатора плоское. Следовательно, функции Х и Х2 представляют собой потенциалы плоского электростатического поля. Так как кривые Xi ( xi, 2) - const и X2 ( xi, x2) const ортогональны, то если первые представляют семейство эквипотенциальных поверхностей, то вторые силовые линии или наоборот. Аналитическая функция w ( z) называется комплексным потенциалом. Пусть Xi ( xi, x2) представляет потенциал плоского поля. [7]
В односвязной области это граничное условие приводит к ( р const ( а потому Е 0) как единственному решению, регулярному во всей области. Тем самым доказывается невозможность распространения этого типа волн по волноводам с односвязным сечением. В многосвязной лее области значение const в граничном условии не обязано быть одним и тем лее на различных граничных контурах, и тогда уравнение Лапласа имеет нетривиальные решения. При этом распределение электрического поля в поперечном сечении волновода соответствует плоскому электростатическому полю между обкладками конденсатора, находящимися при заданной разности потенциалов. [8]
Мы видим, что зависимость Е ( а с ним и Н) от х, у дается решением двумерной электростатической задачи: Е - V2P где потенциал ф удовлетворяет уравнению Д2ф 0 с граничным условием ф const. В односвязной области это граничное условие приводит к ф const ( а потому Е 0) как единственному решению, регулярному во всей области. Тем самым доказывается невозможность распространения этого типа волн по волноводам с односвязным сечением. В многосвязной же области значение const в граничном условии не обязано быть одним и тем же на различных граничных контурах, и тогда уравнение Лапласа имеет нетривиальные решения, При этом распределение электрического поля в поперечном сечении волновода соответствует плоскому электростатическому полю между обкладками конденсатора, находящимися при заданной разности потенциалов. [9]