Cтраница 1
Коммутативное поле иногда называют просто полем, в отличие от тела или некоммутативного поля. Полем Галуа называют конечное коммутативное поле. [1]
Кроме того, через L обозначается коммутативное поле, наделенное структурой конечномерной / ( - алгебры, и векторным расслоением будет называться векторное расслоение над L с базой В, имеющее локально конечный ранг. [2]
О группах, изоморфно представимых матрицами над коммутативным полем, Матем. [3]
О группах, изоморфно представимых матрицами над коммутативным полем. [4]
К пространства V и элемент С, есть коммутативное поле конечной степени над / С; так как поле К алгебраически замкнуто, то это поле совпадает с полем К так что С. Но это означает, что С - скалярное кратное тождественного автоморфизма пространства V. Из сказанного следует, что fcflt где с - элемент основного поля. [5]
О группах, изоморфно пред ставимых матрицами над коммутативным полем. [6]
Чтобы не потеряться в этих слишком широких обобщениях, мы возьмем в качестве нашего числового поля коммутативное поле и определим линейную ассоциативную алгебру конечного порядка над этим полем. Под числами мы подразумеваем элементы поля и обозначаем его нуль о и его единицу е через 0 и 1; под элементом мы понимаем элемент алгебры. [7]
Таким образом, классы равных между собой рациональных дробей с коэффициентами из поля Р составляют при нашем определении операций коммутативное поле. Мы должны еще, впрочем, доказать, что в построенном нами поле содержится подкольцо, изоморфное кольцу Р [ х ], и что всякий элемент поля представим в виде частного двух элементов из этого подкольца. [8]
Эмми Нетер возражала против подобного мнения и не без оснований: она ссылалась на то, что лишь за последние годы с помощью аксиоматического метода, применяя некоммутативную алгебру к коммутативным полям и к соответствующим теориям чисел, ей удалось обнаружить новые, вполне конкретные и глубокие проблемы и указать путь, ведущий к их решению. [9]
Основная стоящая здесь проблема может быть сформулирована так: указать в терминах абстрактной теории групп необходимые и достаточные признаки того, чтобы некоторая группа допускала изоморфное представление какой-либо степени над каким-нибудь коммутативным полем. Что касается общего случая, то он сначала редуцируется к группам с ко-нечцым числом образующих, а затем сводится к проблеме представления конечных групп матрицами заданной степени. Оказывается, что матричные группы с конечным числом образующих могут быть с любой степенью точности аппроксимированы конечными группами, допускающими представления ограниченной степени, и, наоборот, из возможности такой аппроксимации уже вытекает представимость группы. [10]
Коммутативное поле иногда называют просто полем, в отличие от тела или некоммутативного поля. Полем Галуа называют конечное коммутативное поле. [11]
Теперь мы доведем этот процесс построения до получения разложения нашей алгебры на независимые простые матричные алгебры; желательно было бы получить еще раз предыдущие результаты, но с новой точки зрения. III состоит в том, что здесь мы, насколько это возможно, воздерживаемся от наложения ограничивающих предположений на коммутативное поле, над которым определяется алгебра; только в конце мы обсуждаем преимущества того, что множество комплексных чисел ( единственное поле, интересное с точки зрения физических приложений) является алгебраически замкнутым. [12]