Cтраница 1
Коммутативный гармонический анализ находится на перекрестке многих математических теорий. [1]
Само название нашего предмета ( коммутативный гармонический анализ) предполагает некоторый объект анализа, не - называя его явно. Объектом гармонического анализа служат трансляционно ( инвариантные операторы. Прилагательное гармонический 1 указывает не на объект, а на метод исследования. [2]
В предыдущих разделах мы описывали коммутативный гармонический анализ таким, каким он видится на фоне других разделов математики и в связи с ними. Но наш предмет существует и для себя. Помимо той, главной, линии развития, за которой мы старались следить до сих пор, существует и вторая, связанная с разработкой внутренней проблематики гармонического анализа как такового. Разумеется, обе эти линии взаимодействуют и не поддаются четкому разделению. Специальные, подчас весьма изысканные результаты, характерные для второй, внутренней, линии развития, не раз сказывались и вне рамок гармонического анализа; многие аналитические средства, изобретенные в ходе исследования утонченных свойств рядов и интегралов Фурье, вошли в обиход математической физики, ком-плеского анализа и других областей. В то же время гармоническому анализу как таковому свойственна исключительная внутренняя красота; богатство и разнообразие накопленных им результатов поражают воображение - сами по себе, вне зависимости от каких бы то ни было связей и приложений. [3]
Это разложение является главным примером и объектом изучения коммутативного гармонического анализа. [4]
Наше предварительное ( и поневоле поверхностное) описание коммутативного гармонического анализа подошло к концу. Сама по себе попытка распределить содержание этого предмета по нескольким рубрикам предполагает, что его развитие, в основном, завершено. Это, конечно, не означает, что в коммутативном гармоническом анализе не осталось трудных, интересных и красивых задач; наша тема неисчерпаема, и поток работ, относящихся к перечисленным выше разделам, не оскудевает. Математиков привлекает и еще долго будет привлекать необычайная красота гармонического анализа, впечатляющие связи его с другими математическими дисциплинами, а также и большая - по сравнению с другими разделами математики - его доступность: достаточно трех, четырех курсов университета, чтобы понять постановку увлекательных задач гармонического анализа и приняться за их решение, часто с серьезными шансами на успех. В настоящее время тематика одной переменной в значительной мере исчерпана [ 49, с. [5]
Цель этой вводной статьи состоит в том, чтобы создать у читателя первое и очень общее впечатление о коммутативном гармоническом анализе, помочь ему хотя бы грубо сориентироваться в этом огромном предмете, более детальному изложению которого будут посвящены остальные статьи этого и следующих томов. [6]
Вместе с тем, есть все основания предполагать, что время открытий, - мы имеем в виду открытия, подобные тем, о которых говорилось выше в историческом обзоре и которые на протяжении XVIII, XIX и первой половины XX веков время от времени потрясали все гигантское здание математики - время коммутативного гармонического анализа как источника таких открытий прошло. Он представляет собою вполне сложившуюся, устоявшуюся дисциплину, без которой не могут обойтись многие другие разделы математики, неотъемлемую и жизненно важную составляющую современной физико-математической культуры в целом. [7]
Фурье есть всего лишь одно из многих интегральных преобразований, применяемых в анализе; четвертый - что анализ Фурье есть только иллюстрация теории коммутативных банаховых алгебр... Все они будут при этом правы: коммутативный гармонический анализ можно многими способами включать в объемлющие его разнообразные общие теории, но при каждом тайком включении он теряет какую-нибудь из важных своих черт, утрачивает свое подлинное лицо. В этой статье мы постараемся выделить и подчеркнуть то, что характерно для коммутативного гармонического анализа как для самостоятельной дисциплины, ориентируясь прежде всего на классические ее аспекты и стараясь продемонстрировать хотя бы некоторые из ее связей с другими разделами математики. [8]
Наше предварительное ( и поневоле поверхностное) описание коммутативного гармонического анализа подошло к концу. Сама по себе попытка распределить содержание этого предмета по нескольким рубрикам предполагает, что его развитие, в основном, завершено. Это, конечно, не означает, что в коммутативном гармоническом анализе не осталось трудных, интересных и красивых задач; наша тема неисчерпаема, и поток работ, относящихся к перечисленным выше разделам, не оскудевает. Математиков привлекает и еще долго будет привлекать необычайная красота гармонического анализа, впечатляющие связи его с другими математическими дисциплинами, а также и большая - по сравнению с другими разделами математики - его доступность: достаточно трех, четырех курсов университета, чтобы понять постановку увлекательных задач гармонического анализа и приняться за их решение, часто с серьезными шансами на успех. В настоящее время тематика одной переменной в значительной мере исчерпана [ 49, с. [9]
Фурье есть всего лишь одно из многих интегральных преобразований, применяемых в анализе; четвертый - что анализ Фурье есть только иллюстрация теории коммутативных банаховых алгебр... Все они будут при этом правы: коммутативный гармонический анализ можно многими способами включать в объемлющие его разнообразные общие теории, но при каждом тайком включении он теряет какую-нибудь из важных своих черт, утрачивает свое подлинное лицо. В этой статье мы постараемся выделить и подчеркнуть то, что характерно для коммутативного гармонического анализа как для самостоятельной дисциплины, ориентируясь прежде всего на классические ее аспекты и стараясь продемонстрировать хотя бы некоторые из ее связей с другими разделами математики. [10]
Приведенные в начале введения формулировки ( fc) и наивны не только в силу своей неаккуратности: они никак ие отражают того обстоятельства, что гармонический анализ ( в разных его вариантах) возникает при наличии некоторого действия ( чаще всего, группы преобразований), а его объектами служат не столько индивидуальные функции, сколько те траектории, которые эти функции описывают в результате упомянутого действия; основное достоинство гармоник состоит в простоте их реакции на это действие. Эта идеология развивается в третьей главе, которая представляет собою краткий ючерк гармонического анализа на группах. Пятая глава содержит, наряду с обсуждением общих и очень важных представлений о спектре и спектральном анализе-синтезе, также и беглое перечисление гораздо более специальных тем, которые служат достоянием коммутативного гармонического анализа как такового. Эти темы здесь лишь названы. [11]