Выпуклый политоп
Cтраница 1
Выпуклый политоп задается описанием его границы, состоящей из граней. Если политоп Р имеет размерность d, то его ( d - 1) - грани называются гипергранями, ( d - 2) - грани - подгранями, 1-грани - ребрами, а 0-грани - вершинами. Ясно, что ребра и вершины сохраняют свое привычное значение в пространствах любой размерности. Для 3-политопа гиперграни являются плоскими многоугольниками, а подграни и ребра совпадают. Как мы уже видели ранее, эти четыре класса граней играют важную роль в алгоритмах построения выпуклой оболочки. Для единообразия может оказаться полезным называть cf - политоп d - гранью, а пустое множество в такой терминологии превращается в ( - 1) - грань. Однако не все подмножества S определяют грани. [1]
Рассмотрим специальную проекцию л-мерного выпуклого политопа - диаграммы составов ( п - - 1) - компонеитной системы. Эти данные предварительно требуется получить с помощью справочных данных или экспериментально. Далее, имея готовый симплициалъный комплекс, определим симплексы, из которых он составлен. [2]
Рассмотрим специальную проекцию - мерного выпуклого политопа - диаграммы составов ( п - 1) - компононтной системы. Эти данные предварительно требуется получить с помощью справочных данных или экспериментально. Далее, имея готовый симплициальный комплекс, определим симплексы, из которых он составлен. [3]
 |
Перейти к шагу 3. [4] |
Утверждение базируется на том, что число вершин выпуклого политопа конечно, а требование строгого возрастания функции при переходе от вершины к вершине исключает прохождение одной и той же вершины дважды. [5]
Оказалось, что в четырехмерном пространстве существует шесть правильных выпуклых политопов, причем четырехмерный куб имеет специальное название - тессеракт; а в пространстве с числом измерений п J 5 правильных политопов существует только три - n - мерный аналог тетраэдра, n - мерный аналог куба и n - мерный аналог октаэдра. Были найдены также все четырехмерные правильные звездчатые политопы. В качестве дополнительной литературы к этому разделу кроме упомянутой выше книги Гильберта и Кон-Фоссена можно также рекомендовать цикл статей по наглядной геометрии в журнале Успехи математических наук, старая серия, вып. [6]
Выпуклая оболочка конечного множества точек в Ed является выпуклым политопом. Наоборот, каждый выпуклый политоп является выпуклой оболочкой некоторого конечного множества точек. [7]
Из (10.8) следует, что G ( /, l - - k) - - - ограниченный замкнутый, выпуклый политоп. [8]
 |
Два множества разделимы тогда и только тогда, когда их выпуклые оболочки не пересекаются. [9] |
Эта теорема проиллюстрирована для плоского случая на рис. 7.3. Поскольку известно, что выпуклой оболочкой конечного множества точек является выпуклый политоп, то линейная разделимость определяется проверкой пересечения двух выпуклых политопов. Последняя задача является примером задач следующего типа. [10]
 |
Два множества разделимы тогда и только тогда, когда их выпуклые оболочки не пересекаются. [11] |
Эта теорема проиллюстрирована для плоского случая на рис. 7.3. Поскольку известно, что выпуклой оболочкой конечного множества точек является выпуклый политоп, то линейная разделимость определяется проверкой пересечения двух выпуклых политопов. Последняя задача является примером задач следующего типа. [12]
Если 7 ( k, q, I) содержит п - 1 элементов, то G ( /, l k; q) - параллелотоп, если же их больше п - 1, то G ( /, l k; q) - ( п -) - мерный выпуклый политоп общего вида. [13]
Выпуклая оболочка конечного множества точек в Ed является выпуклым политопом. Наоборот, каждый выпуклый политоп является выпуклой оболочкой некоторого конечного множества точек. [14]
Минимаксная теорема Кенига является частным целочисленным случаем более общей теоремы двойственности линейного программирования. Мы представим подход Эдмондса для нахождения граней соответствующего выпуклого политопа, натянутого на двоичные векторы инцидентности всех паросочетаний в графе. [15]
Страницы: 1