Cтраница 1
Метрическая полнота представляется весьма естественным условием. Например, каждое замкнутое риманово многообразие является полным. В применениях наиболее важным является утверждение 3) теоремы 13.1.2, позволяющее рассматривать конструкции из кратчайших. [1]
Хопфа-Ринова гарантирует эквивалентность геодезической и метрической полноты для произвольных римановых многообразий. Если М компактно, то из теоремы Хопфа-Ринова следует также, что все римановы метрики на М полны. Что касается некомпактного случая, то, как установили Номидзу и Одзеки ( 1961), каждое некомпактное гладкое многообразие допускает полную риманову метрику. [2]
В первых трех разделах этой главы мы сопоставим ( и противопоставим) эти результаты со свойствами геодезической и метрической полноты для произвольных лоренцевых многообразий. Напомним, однако, что класс глобально гиперболических пространств этим полезным свойством обладает. Мы также докажем следствие из теоремы 8 Бима ( 1976а, с. [3]
Если полное риманово многообразие имеет конечный диаметр, то по теореме Хопфа - Ринова оно компактно. И как следствие метрической полноты все геодезические имеют бесконечную длину. Поэтому, если пространство-время имеет конечный времениподобный диаметр, то все времениподобные геодезические имеют конечную длину и, значит, неполны. [4]
Цель настоящей монографии состоит в следующем. Сначала будут рассмотрены известные результаты по геодезической и метрической полноте. Затем мы подробно изложим свойства лоренцевой функции расстояния и теорию Морса для непространственноподобных геодезических в произвольных пространственно-временных многообразиях. [5]
Исследования выдающегося советского ученого профессора Н. Ф. Четверухина ( 1891 - 1974) по аксиоматике евклидовой геометрии и геометрическим построениям естественным образом связаны с его многочисленными работами в области начертательной геометрии. Фундаментальные результаты получены Н. Ф. Четверухиным по основной теореме аксонометрии, методам параметрического исследования изображений и теории позиционной и метрической полноты изображений, многомерной начертательной геометрии. [6]
Все эти результаты естественно наводят на мысль о необходимости систематического изучения глобальной лоренцевой геометрии. Изложение современной римановой геометрии, как это сделано в любом из общепризнанных учебников ( см. Бишоп и Крит-тенден ( 1967), Громол, Клингенберг и Мейер ( 1971), Хелгасон ( 1964), Хикс ( 1965)), подсказывает идею, что всестороннюю разработку глобальной лоренцевой геометрии следует вести в трех основных направлениях: геодезическая и метрическая полнота, лоренцева функция расстояния, теория Морса для непространственноподобных геодезических сегментов в произвольном лорен-цевом многообразии. [7]
Согласно 12.3.9, из геодезической полноты следует утверждение 3) теоремы. Поэтому замкнутые шары В ( р, г) компактны как образы компактов BQ ( Q, r) при непрерывном отображении. Осталось доказать, что из метрической полноты следует геодезическая полнота. [8]
Буземан ( 1967) изучал общие хаусдорфовы пространства, на которых вводилась частичная упорядоченность; причем свойства этой частичной упорядоченности весьма похожи на свойства хронологической частичной упорядоченности р q пространства-времени. Он заметил, что для этого класса недифференцируемых пространств можно определить длину непрерывных кривых, и, более того, функционал длины оказывается полунепрерывным сверху в топологии равномерной сходимости ( см. Буземан ( 1967, с. В частности, он изучал конечную компактность и метрическую полноту времениподобных пространств в духе условий ( 1) и ( 2) теоремы Хопфа-Ринова. [9]
R не могут образовывать базиса исходной топологии многообразия. Поэтому в общей теории относительности геодезическая полнота пространства-времени обычно рассматривается чаще, чем метрическая полнота. [10]
Хорошо известно, что если полное риманово многообразие не является локально плоским, то оно не допускает гомотетических отображений на себя, отличных от изометрий ( см. Кобаяси и Но-мидзу ( 1981, с. Существенным местом в доказательстве этого факта является обоснование того, что любая гомотетия произвольного полного риманова многообразия, отличная от изометрий, имеет единственную неподвижную точку. Это можно сделать, применяя неравенство треугольника к римановой функции расстояния и используя метрическую полноту произвольного геодезически полного риманова многообразия. [11]