Cтраница 1
Положительная полухарактеристика, начинающаяся в точке круга г г0, снова оказывается спиралью, закручивающейся около точки О; при этом при t - оо г ( t) - 0 и 0 ( t) - оо. Мы вновь приходим к выводу, что характер поведения траекторий вблизи особой точки определяется одними только линейными членами. Если а 0, то особая точка устойчива; если х 0, то неустойчива. [1]
Пусть С - положительная полухарактеристика, для которой предельное множество Л не сводится к одной особой точке. [2]
Если предельный цикд для положительной полухарактеристики, начинающейся в точке q, совпадает с самой кривой Г, то в области, ограниченной этой кривой, не может быть других циклических траекторий. [3]
Предположим снова, что предельное множество Л положительной полухарактеристики С не сводится к особой точке. Теперь мы знаем, что траектория, начинающаяся в точке множества Л, целиком принадлежит этому множеству. Предположим, что множество Л содержит траекторию С, предельное множество которой ( положительное или отрицательное) не сводится к одной особой точке. [4]
Таким образом, если 7 Я 2 0, то-все положительные полухарактеристики входят в точку О, из них две ( или, точнее, две-системы) входят в эту точку вдоль оси и. [5]
При достаточно большом п эта область не имеет особых точек, так что положительная полухарактеристика С, начинающаяся из точки р0 внутри этой области, в ней и остается. По мере того как кривая С стремится к Л, кривая С стремится к тому же предельному циклу. В самом деле, последовательные точки пересечения С с отрезком S лежат в интервалах pnpn i, Pn. Pn - tzPn з, , так как две траектории не могут пересечься одна с другой. [6]
В случае автономной системы, если движение точки начинается в момент t 0 из положения А в тп-мерном пространстве, то последующие ( при t 0) положения изображающей точки составляют положительную полухарактеристику, исходящую из точки А. [7]
Результаты, полученные выше, можно представить в виде следующей теоремы. Рассмотрим ограниченную положительную полухарактеристику С, расположенную в области D, и предположим, что положительное предельное множество А этой полухарактеристики не сводится к особой точке. [8]
Начало координат является единственной особой точкой и представляет собой, либо неустойчивый узел, либо неустойчивый фокус. Как выяснится в дальнейшем, существует одна-единственная циклическая силовая линия я все положительные полухарактеристики стремятся к одному предельному циклу. [9]
Предположим, что в момент t - О изображающая точка начинает свое движение из некоторого положения на дуге CD. Если ни одна из начинающихся на дуге CD положительных полухарактеристик не входит в точку О вдоль оси х, то все эти кривые входят в точку О вдоль оси у сверху или снизу. Эти множества являются открытыми, поскольку решение изменяется непрерывным образом в зависимости от начальной точки, так что на дуге CD существует хотя бы одна точка, которая не принадлежит ни одному из этих множеств. [10]