Cтраница 2
Во втором параграфе мы воспроизводим классический результат Минковского. Третий параграф содержит регулярное решение проблемы Минковского. Основным средством доказательства является получение априорных оценок для главных радиусов кривизны гиперповерхности. В § 4 такие оценки получаются для гиперповерхности, у которой задана произвольная, подчиненная весьма общим условиям функция главных радиусов кривизны. Естественное обобщение проблемы Минковского состоит в решении вопроса о существовании замкнутой выпуклой гиперповерхности с заданной функцией кривизны любого порядка. [16]
Принцип максимума является важной характерной чертой эллиптических уравнений второго порядка, отличающей их от уравнений высокого порядка и от систем уравнений. Помимо других многочисленных применений принцип максимума используется для получения поточечных оценок, что приводит к созданию более развитой теории, нежели это было бы доступно иным способом. Именно такая общность делает возможным использование принципа максимума для получения априорных оценок, особенно в нелинейных задачах. [17]
При исследовании нелинейных уравнений весьма полезными оказываются теоремы о монотонной зависимости решений от граничных условий и правых частей, которые доказываются непосредственно для обобщенных решений. Это позволяет последовательно пользоваться техни кой верхних и нижних функций и формулировать основные теоремы d разрешимости в терминах этих функций. Удобство такого подхода состоит в том, что не требуется специальных ограничений ( типа ограничений роста функций), которые обычно накладываются для получения априорной оценки модуля решения. Во всех случаях подобного рода ограничений верхняя и нижняя функции легко строятся. [18]