Cтраница 1
Понятие измеримости надо распространить на функции, могущие принимать бесконечные значения. Достигается это тем, что одноточечные множества оо и - оо на расширенной числовой прямой причисляются к классу борелевских множеств. После этого само определение измеримой функции повторяется дословно. Таким образом, функция, принимающая действительные значения, конечные или бесконечные, измерима, если измеримы множества f - 1 ( oo) и / ( - оо), а также N ( f) Л / 1 ( Щ - каково бы ни было борелевское множество М на числовой прямой. Заметим, что класс борелевских множеств с присоединением к нему сю и - со перестает быть о-кольцом, порожденным всевозможными полузамкнутыми интервалами. [1]
Понятие измеримости может быть следующим образом перенесено на функции в произвольном абстрактном множестве X. Пусть в X выделена некоторая о-алгебра 5 его подмножеств. [2]
Описанное выше расширение понятия измеримости ( с допущением для меры бесконечных значений) возможно и без предположения а-конечности исходной меры, например, по следующей схеме. [3]
Можно сказать, что множества и функции декретируются измеримыми; понятие измеримости - чисто теоретико-множественное, и от теории меры оно совершенно не зависит. [4]
Надеемся, что теперь читатель в достаточной мере познакомился с понятиями измеримости, чтобы понять и оценить многочисленную литературу по вопросам полезности и благосостояния, и что это изложение сделало более понятным то, что анализ благосостояния не извлекает никакой пользы из общепринятого анализа полезности, и наоборот. [5]
На дискретной модели ( в которой все подмножества Q измеримы) не очень виден тот аспект понятия измеримости, в котором это понятие важно для использования условных математических ожиданий. [6]
Таким образом, данное определение интеграла является более узким по сравнению с первоначальным, но зато оно не связано с понятием измеримости процесса. [7]
IV ] при рассмотрении функций со значениями в топологическом пространстве Г берет условие Лузина в качестве определения измеримости функций. Два понятия измеримости совпадают, только бели пространство Т удовлетворяет некоторым условиям счетности. Несомненно, что для функций, принимающих абстрактные значения, критерий Лузина более целесообразен в качестве определения измеримости. [8]
Примеры показывают, что j / i можно определить также для некоторых функций, отличных от непрерывных, с компактными носителями. Способ введения понятия измеримости во многом завист от выбранного способа построения, и мы этого уточнять не будем. [9]
На дискретной модели ( в которой все подмножества Q измеримы) не очень виден тот аспект понятия измеримости, в котором это понятие важно для использования условных математических ожиданий. Таким образом, вместо о-алгебры всех событий в Q мы рассматриваем более простую, включающую не все события, а только некоторые, характеризуемые некоторой суммарной характеристикой. В подобных упрощениях и заключен смысл использования понятия измеримости при вычислениях условных математических ожиданий. [10]
Пусть наблюдатель звездного неба имеет телескоп, позволяющий фиксировать положение лишь тех звезд, яркость которых превышает некоторый пороговый уровень. Для наблюдателя, если он только не использует накопленные астрономией знания, неизмеримыми ( экспериментально непроверяемыми) оказываются все утверждения о звездах яркости, меньшей пороговой. Вместе с тем мы знаем, что при использовании более сильных инструментов, учете движения Земли вокруг Солнца или с помощью привлечения других методических приемов современной астрономии часть из этих утверждений может стать проверяемой. Понятие измеримости позволяет в данном случае четко провести грань между физически проверяемыми утверждениями о строении исследуемого вероятностного пространства и утверждениями, на сегодня недоступными для проверки. [11]