Cтраница 1
Понятие мощности множества дает возможность сравнивать различные бесконечные множества. Обозначим мощность всех бесконечных множеств, эквивалентных некоторому бесконечному множеству А, символом а. Если некоторое множество В, мощность которого обозначим символом р, эквивалентно множеству А, то по аналогии с конечными множествами можно сказать, что мощность а равна мощности р н писать ар. Так определяется равенство и различие мощностей. [1]
Ценность понятия мощности множества определяется существованием неравномошных бесконечных множеств. Множество, равномошное множеству всех натуральных чисел, наа. Мощность счетных множеств есть наименьшая мощность, к-рую может иметь бесконечное множество; всякое бесконечное множество содержит счетную правильную часть. [2]
Одним из основных понятий теории множеств является понятие мощности множества. [3]
Аналогичное обобщение понятия количественного числа приводит к понятию мощности множества. [4]
V; если же существуют и биективное отображение множества М на часть множества А и биективное отображение множества N на часть множества М ( в этом последнем случае обязательно существует и биективное отображение М на Л), то говорят, что мощности множеств М и N одинаковы ( что множества М и N равно мощны); в этом последнем случае в отношении понятия мощности множества М и jV не различаются. Таким образом, отношение порядка вводится в фактормножестве множества множеств по отношению равномощности. [5]
Относительность понятия мощности множества в классич. Так, критерий Скотта гласит, что класс К алгебраич. [6]
Если речь идет о конечном множестве, то его мощность будет совпадать с количеством элементов этого множества, выражаемым соответствующим натуральным числом. Мы все же оставляем здесь понятие мощности множества, чтобы сохранить общность терминологии и возможность перехода к бесконечным множествам операций. [7]
Важным случаем функциональной связи между множествами являются взаимно однозначные соответствия. Для бесконечных множеств это понятие позволяет ввести понятие мощности множества, не обращаясь к понятию количество, а для конечных позволяет получать оценки мощности, не прибегая к прямому подсчету. Если между изучаемым множеством А и множеством В, мощность которого известна, установлено взаимно однозначное соответствие, то это сразу приводит к определению комбинаторной функции множества А. [8]
Между двумя конечными множествами можно установить биекцию тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. Если множество А равно-м Ьщно множеству В, то множества Л и В имеют одно и то же кардинальное число. Ценность понятия мощности множества определяется существованием не-равномощных бесконечных множеств. Первое имеет мощность континуума, а второе - счетное множество. В каждом бесконечном множестве А имеется собственное подмножество, равномощное всему Л, в то же время как ни в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. [9]
Вейерштрасса) кладется обычно в основание построения математич. В дальнейшем в теории множеств были обнаружены парадоксы, что дало новый толчок исследованиям логич. Один из первых парадоксов этого рода ( связанный с понятием мощности множества всех множеств) был открыт самим К. [10]