Cтраница 2
Вместе с тем стремление устранить очевидные недостатки в принятой методологии описания и анализа характеристик точности измерений, безусловно, оправданы и, добавим, неизбытны. Представляется, однако, что поиск следует вести не в направлении замены понятия погрешности более адекватным, а в направлении развития математических основ теории погрешностей и повышения степени адекватности используемых математических моделей объектов, условий, процедур и средств измерений реальным. Практикуемый в традиционной метрологии подход к анализу точности измерений, в котором сформулированные элементы математического описания погрешностей и характеристик погрешностей результатов измерений сочетаются с содержательными определениями тх использованием результатов, вытекающих из соображений здравого смысла, не обеспечивает ни полноты описания и анализа, ни однозначности интерпретации получаемых результатов. [16]
Заменяя в дифференциальном уравнении частные производные теми или иными разностными отношениями, мы аппроксимируем его на некотором шаблоне. Для описания точности аппроксимации отдельных производных естественно использовать введенное выше понятие погрешности аппроксимации по отношению к классу функций. Аппроксимация производных уже рассматривалась в § 1.3. Там же были приведены главные члены погрешности аппроксимации. Односторонние двухточечные аппроксимации первой производной (1.22) имеют первый порядок точности, а симметричные ( центральные) (1.23) - второй. Симметричные аппроксимации (1.24) второй производной также имеют второй порядок точности. Если привлечь три узла для аппроксимации первой производной, то получим односторонние аппроксимации (1.23) второго порядка точности. Их иногда применяют для аппроксимации граничных условий. [17]
С тем чтобы работа над настоящей книгой не требовала привлечения дополнительных источников, она снабжена приложениями, в которых кратко излагаются основные сведения по элементарной матричной алгебре, теории детерминантов, а также дается анализ некоторых основных численных методов. Относительно этих последних стоит отметить, что многие из них можно применять более или менее непосредственно для того типа подгонки кривых, которым мы интересуемся. Основное различие состоит в том, что, подгоняя кривую в обычном математическом смысле, мы пытаемся аппроксимировать некоторую функцию, и поэтому можно дать четкое определение понятия погрешности и, следовательно, установить возможные допуски. В численной геометрии наша цель-представить не функцию, а некоторую форму, и поэтому наши критерии приемлемости, как уже отмечалось, более расплывчаты. [18]
Однако такая организация вычислений требует больших дополнительных затрат вычислительного труда: объем работы на один узел сетки возрастает почти втрое. Рассмотрим сейчас способ построения правил численного интегрирования дифференциальных уравнений, который позволяет во многих случаях полнее использовать результаты промежуточных вычислений и, в частности, получать одношаговые методы предсказывающе-исправляющего характера, что дает возможность практически без дополнительных вычислений судить о локальной погрешности полученного значения приближенного решения и об удаче выбора шага численного интегрирования. Заметим, что здесь и всюду, где речь идет о построении вычислительных правил, мы рассматриваем обычно приближенное решение без учета погрешностей, обусловленных ошибками округлений и неточным заданием исходных данных, тем самым понятие погрешности приближенного решения используется в более узком смысле погрешности метода. [19]
При построении математической модели реального явления нужно свести это явление к математическим уравнениям, оценить их параметры, начальные данные, провести анализ и выбрать метод решения. Математическая модель дает лишь некоторое приближение к реальному явлению и, следовательно, описывает его с некоторой ошибкой. Неточно известны обычно и начальные данные процесса. В большинстве случаев в процессе решения уравнений приходится прибегать к приближенным вычислениям. Таким образом, как при построении математической модели, так и при ее анализе для изучения реального явления появляются ошибки. Для оценки ошибок вводится понятие погрешности. Различают абсолютную и относительную погрешности. [20]
Задачи устойчивости типичны для тонких и тонкостенных тел. Решения этих задач для стержней, пластин и оболочек строятся обычно на основе приближенных уравнений, в которых используются некоторые кинематические и динамические гипотезы. Имеется несколько путей для получения этих уравнений. Первый, наиболее ранний способ состоит в непосредственном рассмотрении форм движения ( равновесия), смежных с невозмущенным. Все рассуждения носят наглядный характер; однако в достаточно сложных задачах эта наглядность оказывается обманчивой. Другой путь состоит в использовании нелинейных уравнений соответствующих прикладных теорий. Линеаризуя последние в окрестности невозмущенного движения, получим искомые уравнения. Однако в нелинейной теории имеется еще меньше единства взглядов на то, как должны записываться основные уравнения. Следовательно, идя по этому пути, мы лишь смещаем все трудности в другую, еще менее согласованную область. Этот метод открывает возможность для оценки погрешности различных приближенных вариантов. При этом за меру погрешности принимается взятое по модулю отношение членов, отбрасываемых в выражении для плотности квадратичного функционала, к оставляемым главным членам - энергетическая погрешность. Был дан вывод и последовательное упрощение уравнений теории устойчивости тонких упругих оболочек на основе понятия энергетической погрешности. [21]