Cтраница 1
Понятие векторного поля, возникшее в физике, совпадает с математическим понятием векторной функции. [1]
С понятием градиента тесно связано понятие потенциального векторного поля. [2]
Важным для дифференцируемых многообразий Мп является понятие векторного поля. [3]
Одним из основных понятий механики сплошных сред является понятие векторного поля скоростей. Под векторным полем скоростей понимают такую векторную функцию координат и времени v ( x, у, z, t), которая дает значение скорости тех частиц сплошной среды, которые в момент времени t проходят точку пространства, характеризуемую координатами х, у, г. Таким образом, скорость v ( x, у, г, t) не относится ни к какой частице в отдельности, а характеризует движение всей сплошной среды в целом. [4]
Одним из основных понятий механики сплошных сред является понятие векторного поля скоростей. Под векторным полем скоростей понимают такую векторную функцию координат и времени v ( x, у, z, t), которая дает значение скорости тех частиц сплошной среды, которые в момент времени t проходят точку, пространства, характеризуемую координатами х, у, г. Таким образом, скорость v ( х, у, z, t) не относится ни к какой частице в отдельности, а характеризует движение всей сплошной среды в целом. [5]
Таким образом, понятие безвихревого векторного поля эквивалентно понятию потенциального векторного поля. [6]
Так как И гладко при каждом а, то корректно определено понятие правоинвариантного векторного поля. [7]
M), как и Т ( М), не может быть прямым произведением. Понятие векторного поля допускает непосредственное обобщение. [8]
Для того чтобы ввести его, нам нужно сначала развить понятие векторного поля на многообразии. Мы начинаем с обсуждения касательных векторов. [9]
В первом параграфе дается основное описание общего понятия многообразия, во втором делается то же самое для групп Ли, и локальных, и глобальных. Практически группы Ли возникают как группы симметрии некоторого объекта, или, более точно, как локальные группы преобразований, действующих на некотором многообразии; в § 2 дается краткий обзор этого подхода. Наиболее важное понятие всей теории - понятие векторного поля, которое выступает как инфинитезимальная образующая некоторой однопараметрической группы Ли преобразований. Это понятие является фундаментальным и для развития теории групп Ли, и для приложений к дифференциальным уравнениям. Оно играет решающую роль в замене сложных нелинейных условий симметрии некоторого объекта относительно группы преобразований легко проверяемыми линейными условиями, отражающими его инфинитезимальную симметрию относительно соответствующих векторных полей. Эта техника будет глубоко исследована для систем алгебраических и дифференциальных уравнений во второй главе. Понятие векторного поля приводит затем к понятию алгебры Ли, которую можно представлять себе как инфинитезимальную образующую самой группы Ли. Соответствующая теория развита в § 1.4. Последний параграф этой главы дает краткое введение в дифференциальные формы и интегрирование на многообразиях. [10]
В первом параграфе дается основное описание общего понятия многообразия, во втором делается то же самое для групп Ли, и локальных, и глобальных. Практически группы Ли возникают как группы симметрии некоторого объекта, или, более точно, как локальные группы преобразований, действующих на некотором многообразии; в § 2 дается краткий обзор этого подхода. Наиболее важное понятие всей теории - понятие векторного поля, которое выступает как инфинитезимальная образующая некоторой однопараметрической группы Ли преобразований. Это понятие является фундаментальным и для развития теории групп Ли, и для приложений к дифференциальным уравнениям. Оно играет решающую роль в замене сложных нелинейных условий симметрии некоторого объекта относительно группы преобразований легко проверяемыми линейными условиями, отражающими его инфинитезимальную симметрию относительно соответствующих векторных полей. Эта техника будет глубоко исследована для систем алгебраических и дифференциальных уравнений во второй главе. Понятие векторного поля приводит затем к понятию алгебры Ли, которую можно представлять себе как инфинитезимальную образующую самой группы Ли. Соответствующая теория развита в § 1.4. Последний параграф этой главы дает краткое введение в дифференциальные формы и интегрирование на многообразиях. [11]