Cтраница 1
Понятие прямого произведения имеет здесь очевидный смысл. Понятие риманова многообразия непосредственно обобщается па бесконечномерные пространства. [1]
Понятие прямого произведения может без труда быть перенесено на любое число сомножителей. [2]
Для этого предварительно введем понятие прямого произведения двух представлений. [3]
В заключение пчрагра а покажем, как с помощью понятия отображения понятие прямого произведения распространяется на любое оомвйотао сомножителей. [4]
Группа С2 X С з называется прямым произведением циклических групп С2 и С3; аналогично, группа С X X С является прямым произведением группы Сх, и группы Соо. Понятие прямого произведения в его наиболее общей и абстрактной форме чрезвычайно полезно; например, можно показать, что любая конечная абелева группа является прямым произведением 1) циклических групп. Мы лишь очень бегло коснемся свойств прямого произведения, рассчитывая на то, что основные понятия будут усвоены из примеров. [5]
Мы начинаем с вопроса о прямых произведениях групп, так как идейно к этому вопросу относились первые работы О. Ю. Шмидта), Я. Роль понятия прямого произведения в теории групп, состоящая f том, что изучение некоторых классов групп сводится иногда путем прямого разложения на изучение более простых и обозримых классов групп, сделала основным вопрос об изоморфизме двух разложений группы в прямое произведение неразложимых множителей или, более общо, вопрос о су ществ овании изоморфных продолжений для двух любых прямых разложений группы. [6]
Мы должны здесь пояснить понятие изоморфизма для многоместных функторов. Это удобно сделать, воспользовавшись понятием прямого произведения категорий. [7]
В § 2 изучаются произведения бесконечного исла моделей. В этом параграфе вводится новое понятие регулярного произведения моделей, более общее, чем понятие прямого произведения. [8]
Пары вещественных чисел образуют коммутативную группу относительно заданной на них операции сложения. Это следует из того, что операция сложения совпадает с операцией сложения, определенной на прямом произведении двух вещественных прямых. Аналогичные рассуждения применимы и к операции умножения, если воспользоваться не вводившимся ранее, но вполне разумным понятием прямого произведения полугрупп. Умножение пар ассоциативно, поскольку операция, производимая над каждой компонентой пар, ассоциативна. По той же причине умножение пар вещественных чисел коммутативно. [9]
Одной из первых работ в мировой литературе, посвященных таким группам, была работа Л. В. Канторовича), по существу относящаяся, впрочем, к теории функциональных пространств. Найдены условия для того, чтобы абстрактную группу можно было однокомпо-нентно или линейно упорядочить а также условия для того, чтобы частично упорядоченная группа могла быть подгруппой полного прямого произведения линейно упорядоченных групп, чем обобщена тео. Клиффорда), относящаяся к абелевым группам. Изучая понятие прямого произведения частично упорядоченных групп, введенное Биркгофом, Е. П. Шимбирева показала, что два любых прямых разложения од покомпонентной группы обладают общим продолжением. Этот результат обобщает теорему Биркгофа, относящуюся к структурно упорядоченным группам. [10]